Blog Μαθηματικών και Εκπαιδευτικών Θεμάτων

1) Βασικές Έννοιες

1. Μετασχηματισμοί και ισομετρίες

ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια ισομετρία του επιπέδου είναι ένας μετασχηματισμός του επιπέδου που διαφυλάσσει τις αποστάσεις και τα μέτρα των γωνιών. Αν Α, Β και Γ είναι δύο σημεία του επιπέδου και A’, B’ και Γ’ οι αντίστοιχες εικόνες μέσω ενός μετασχηματισμού των σημείων Α, Β και Γ, τότε ο μετασχηματισμός είναι ισομετρία αν

Παραδείγματα: Η μεταφορά, η στροφή και η αξoνική συμμετρία είναι ισομετρίες.

H μεταφορά γίνεται βάσει ενός διανύσματος $\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}$. Η μεταφορά δεν έχει κανένα σημείο αμετάβλητο, δεν υπάρχει δηλαδή σημείο που να είναι η εικόνα του εαυτού του. H στροφή με κέντρο σημείο Ο και μια μη-μηδενική γωνία έχει μόνο ένα σταθερό σημείο, το κέντρο Ο. Η κεντρική συμμετρία με κέντρο το σημείο Ο είναι στροφή με κέντρο το Ο και γωνία $180^o$. Η αξονική συμμετρία, αφήνει μόνο σταθερά σημεία τα σημεία που ανήκουν στον άξονα της συμμετρίας.

H συμμετρία και ολίσθηση είναι μετασχηματισμός που γίνεται με ένα άξονα συμμετρίας και ένα διάνυσμα μεταφοράς $\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}$. Και αυτός ο μετασχηματισμός δεν έχει σταθερά σημεία εκτός αυτά του άξονα.

Η σύνθεση δύο μεταφορών με διαστήματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ είναι μεταφορά με διάνυσμα $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Η σύνθεση δυο αξονικών συμμετριών με τεμνόμενους άξονες είναι μια περιστροφή με κέντρο το σημείο τομής των αξόνων και γωνία το διπλάσιο της γωνίας των δύο αξόνων.

H σύνθεση δυο αξονικών συμμετριών με παράλληλους άξονες είναι μια μεταφορά με διάνυσμα μέτρου ίσο με το διπλάσιο της απόστασης των παραλλήλων.

H σύνθεση δύο κεντρικών συμμετριών με κέντρα O και O’ είναι μια μεταφορά με διάνυσμα μέτρου διπλάσιο της απόστασης ΟΟ’.

2. Tύποι Ισομετρίας

ΟΡΙΣΜΟΣ: Οι ισομετρίες κατατάσσονται σε δύο τύπους: τις θετικές ισομετρίες (ορθή φορά) και τις αρνητικές ισομετρίες (ανάστροφη φορά – κίνηση δεικτών ρολογιού).
Η θετική ισομετρία αφήνει αμετάβλητες τις προσανατολισμένες γωνίες.
Η αρνητική ισομετρία είναι μια ισομετρία που μετασχηματίζει τις προσανατολισμένες γωνίες σε αυτές αντιθέτου φοράς.

Παράδειγμα: Οι θετικές ισομετρίες είναι η μεταφορά και η στροφή. Οι αρνητικές ισομετρίες είναι η συμμετρία και η συμμετρία με ολίσθηση.

3. Πλακόστρωση του επιπέδου

ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια πλακόστρωση του επιπέδου είναι μια οικογένεια από πολύγωνα που τα λέμε πλακίδια, ή πλακάκια, που καλύπτουν όλο το επίπεδο χωρίς να αφήνουν τρύπες και το ένα πλακίδιο δεν επικαλύπτει το άλλο.

4. Πλακόστρωση με ισομετρικά πλακίδια

Είδαμε ότι δύο πλακίδια είναι ισομετρικά όταν είναι εικόνες μιας ισομετρίας.

ΟΡΙΣΜΟΣ: Οι πλακοστρώσεις με ισομετρικά πλακίδια είναι πλακοστρώσεις που κατασκευάζονται με τη χρήση ενός μόνου είδους πλακιδίου.

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε μια πλακόστρωση με ισομετρικά πλακίδια χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε τύπο τριγώνου, οποιοδήποτε τύπο κυρτού τετραπλεύρου και κάποιων πενταγώνων καθώς και τις πλακοστρώσεις τύπου Escher.

2) Ομάδες Ισομετριών

Υπάρχουν 17 ομάδες ισομετρικών μετασχηματισμών του ευκλειδείου επιπέδου. Πρώτος που κατέγραψε τις ομάδες είναι η Ρώσσος κρυσταλογράφος Fedorov του 1891. Η αφετηρία της θεωρίας της συμμετρίας είναι η έρευνα της δομής των κρυστάλλων.
Η θεμελιώδης θεωρία της συμμετρίας βασίζεται πάνω στην θεωρία της ομάδας μετασχηματισμών. Ένα σύνολο ισομετρικών μετασχηματισμών εφαρμόζεται πάνω σε σύνολο γεωμετρικών σχημάτων. Μπορούμε να ορίσουμε μια πράξη μεταξύ των μετασχηματισμών: τη σύνθεση δύο μετασχηματισμών. Η σύνθεση ισομετρικών μετασχηματισμών είναι μια κλειστή πράξη, δηλαδή είναι επίσης ένας μετασχηματισμός, και είναι μεταθετική. Για κάθε μετασχηματισμό υπάρχει αντίστροφος δηλαδή αν ο μετασχηματισμός είναι η μεταφορά του Α στη θέση Β υπάρχει και η αντίθετη πράξη της μεταφοράς του Β στη θέση Α. Γενικά, αν $t_1$ και $t_2$ δύο ισομετρικοί μετασχηματισμοί τότε:
1) η σύνθεση $t_1\circ t_2$ ανήκει στην ομάδα και $t_1\circ t_2= t_2\circ t_1$,
2) ο αντίστροφος $t_1^{-1}$ ενός ισομετρικού μετασχηματισμού είναι επίσης ισομετρικός μετασχηματισμός της ομάδας.

Η πράξη της σύνθεσης $\circ$ έχει μια ιδιότητα, είναι προσεταιριστική: αν $t_1,t_2,t_3$ είναι ισομετρικοί μετασχηματισμοί της ομάδας τότε $t_1\circ (t_2\circ t_3)=(t_1\circ t_1)\circ t_3$ . Επίσης, αφού ο μετασχηματισμός $t^{-1}$ ενός μετασχηματισμού είναι στοιχείο της ομάδας, τότε και ο ταυτοτικός μετασχηματισμός (η ακινησία δηλαδή) $t\circ t^{-1}=t^{-1}\circ t=1$ είναι στοιχείο της ομάδας.

Όπως θα δούμε παρακάτω, ας κάνουμε μια υπέρβαση, μια πλακόστρωση P θα είναι το γινόμενο της ελάχιστης επιφάνειας Μ επί την ομάδα ισομετρικών μετασχηματισμών G: $\mathrm{P=M\times G}$. Άρα, μια ομάδα ισομετρικών μετασχηματισμών είναι το πηλίκο μιας πλακόστρωσης P διά της ελάχιστης επιφάνειας Μ!

Ας δούμε τους ισομετρικούς μετασχηματισμούς (μεταφορά, στροφή και αξονική συμμετρία) με την νέα ορολογία των ομάδων.

Στο Σχήμα 1, βλέπουμε μια σύνδεση ισομετρικών μετασχηματισμών. Τ είναι μεταφορά του Α με διάνυσμα $\overrightarrow{v}$, S η αξονική συμμετρία, Ο είναι η στροφή με κέντρο το Ο και γωνία $180^o$ ορθή φορά, S’ είναι αξονική συμμετρία και R είναι η στροφή με κέντρο το R και γωνία $90^o$ ανάστροφα. Τότε,

Έχουμε ήδη πει ότι ότι η διαδοχή δύο αξονικών συμμετριών είναι είτε μια στροφή αν οι άξονες τέμνονται ή μια μεταφορά αν οι άξονες είναι παράλληλοι.

Η διαδοχή τριών αξονικών συμμετριών αλλάζει τον προσανατολισμό του αντικειμένου και είναι ισοδύναμη με μια αξονική συμμετρία και μια μεταφορά κατά ένα διάνυσμα ήτοι, η συμμετρία με ολίσθηση είναι τελικά ισοδυναμεί με δύο αξονικές συμμετρίες.

Τελικά: οι αξονικές συμμετρίες παράγουν όλες τις ισομετρίες του επιπέδου.

Οι 17 Ομάδες Μετασχηματισμού

Εδώ θα δουλέψουμε με το λογισμικό morenaments που βρίσκεται στην ιστοσελίδα:

https://imaginary.org/program/morenaments

To περιβάλλον του λογισμικού φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η οθόνη χωρίζεται ουσιαστικά σε τρία μέρη. Στο κεντρικό παράθυρο που είναι και το μεγαλύτερο και εκεί σχεδιάζεται η πλακόστρωση, δύο παράθυρα δεξιά εκ των οποίων το πάνω είναι η επιλογή της ομάδας μετασχηματισμού και το κάτω έχει το βασικό παραλληλόγραμμο που παράγουν τα δύο μεταφορές παραγόμενες από δύο ανεξάρτητα διανύσματα και το οποία μπορεί να επεκταθούν σε όλο το επίπεδο. Οι δύο κατευθύνσεις είναι οι γεννήτορες της υποομάδας μεταφορών. Στο παραλληλόγραμμο σχεδιάζουμε ένα στοιχειώδες μοτίβο που θα κατασκευάσει την πλακόστρωση με τη βοήθεια της στροφής ή συμμετρίας και/ή της μεταφοράς.

Για παράδειγμα: στο σχήμα βλέπουμε το μοτίβο του αριθμού 5 στο βασικό παραλληλόγραμμο με την ομάδα pg που περιέχει 2 μεταφορές και 2 αξονικές συμμετρίες με ολίσθηση παραλλήλων αξόνων.

Οι πρώτες ομάδες p1, p2, p3, p4 είναι άρτιες ισομετρίες δηλαδή τα στοιχεία τους παράγονται από μεταφορά ή στροφή, και είναι ομόρροπα με τα αρχικά. Υπάρχει και η περιττή ισομετρία που τα στοιχεία παράγονται από αξονική συμμετρία ή συμμετρία με ολίσθηση και είναι αντίρροπα με τα αρχικά.

Η Ομάδα p1

Η πρώτη ομάδα είναι στοιχειώδης και είναι η ομάδα μεταφορών.

Στο κάτω παράθυρο δεξιά βλέπουμε το βασικό παραλληλόγραμμο (με τις διευθύνσεις μεταφοράς που σχηματίζουν την υποομάδα μεταφορών) με το στοιχειώδες μοτίβο. Όπως στο σχήμα αν πάρουμε το βασικό παραλληλόγραμμο στις τρείς διαστάσεις μπορούμε να ταυτίσουμε τις απέναντι πλευρές και έτσι να παράγει το σχήμα του τόρου (ή λουκουμά).

Η ομάδα p1 έχει μόνο δύο οικογένειες μεταφορών, δεν περιέχει ούτε συμμετρίες ούτε στροφές, όπως δείχνουν οι διευθύνσεις του βασικού παραλληλογράμμου.

Η Ομάδα p2

H ομάδα αυτή έχει στοιχεία 2 μεταφορές και 4 στροφές κατά $180^ο$ του βασικού σχήματος. Βλέπουμε το βασικό παραλληλόγραμμο, Σχήμα 2, και το στοιχειώδες μοτίβο να είναι αυτό στο Σχήμα 3.
Η ομάδα p2 έχει τέσσερες ομάδες στροφής κατά $180^ο$ που σημειώνονται πάνω στο πρώτο σχήμα με κύκλους, Σχήμα 3. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει τις στροφές με κέντρα τις κορυφές του παραλληλογράμμου, οι άλλες δύο ομάδες έχουν κέντρα στροφής τα μέσα των δύο απέναντι πλευρών και η τέταρτη το κέντρο του παραλληλογράμμου. Στο λογισμικό φαίνονται με τις τελείες.

Η Ομάδα p3

H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 3 διακεκριμένες οικογένειες στροφών κατά $120^ο$ του βασικού σχήματος.

Σαν βασικό σχήμα είναι ένας ρόμβος το 1/3 ενός κανονικού εξάγωνου. Τα κέντρα των 3 ομάδων στροφής είναι οι 6 κορυφές του εξάγωνου και το κέντρο του. Το στοιχειώδες μοτίβο (σε ένα ρόμβο) της πλακόστρωσης του λογισμικού φαίνεται στο παρακάτω αριστερό σχήμα μαζί με τη στροφή με κέντρο το κέντρο του εξάγωνου κατά γωνία $120^ο$.

Η Ομάδα p4

Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 2 οικογένειες στροφών κατά $90^ο$ και 2 οικογένειες στροφών κατά $180^ο$ του βασικού σχήματος. Δεν υπάρχουν συμμετρίες.

Η Ομάδα p6

Το βασικό σχήμα είναι ρόμβος. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 1 οικογένεια στροφής κατά $60^ο$, 2 οικογένειες στροφών κατά $120^ο$και 3 οικογένειες στροφής κατά $180^ο$.

Η Ομάδα pg

Το βασικό σχήμα είναι το τετράγωνο. To g υποδηλώνει την ύπαρξη αξόνων συμμετρίας με ολίσθηση. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση με παράλληλους άξονες.

Πρόκειται για το στοιχειώδες μοτίβο στο ορθογώνιο του οποίου οι δύο αντικρυστές πλευρές ταυτίζονται μεταξύ τους με τρόπο ώστε ένα ζεύγος από αυτές ταυτίζονται κατά τρόπο κεφάλι – πόδια. Είναι δηλαδή μια φιάλη του Klein.

Ομάδα pgg

Το βασικό σχήμα είναι το ορθογώνιο. To gg υποδηλώνει την ύπαρξη δύο παραλλήλων αξόνων συμμετρίας με ολίσθηση. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση με παράλληλους άξονες και 4 οικογένειες στροφής $180^o$.

Πρόκειται για το στοιχειώδες μοτίβο στο ορθογώνιο που είναι το 1/4 του αρχικού. Στο σχήμα βλέπουμε τα σχήματα που παρήχθησαν από τις 2 οικογένειες συμμετρίας. Το ίδιο θα προκύψει και με τις στροφές γύρω από το κέντρο του βασικού τετραγώνου.

Ομάδα pm

To γράμμα m υποδηλώνει την ύπαρξη αξόνων κατοπτρικής συμμετρίας.
Το βασικό σχήμα είναι το ορθογώνιο. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 2 οικογένειες συμμετρίας με παράλληλους άξονες.

Πρόκειται για ένα στοιχειώδες μοτίβο σε ορθογώνιο που είναι το 1/2 του αρχικού. Στο σχήμα βλέπουμε τα σχήματα που παρήχθησαν από τις 2 οικογένειες συμμετρίας. Το ίδιο θα προκύψει και με τις στροφές γύρω από το κέντρο του βασικού τετραγώνου.

H Ομάδα cm

Πρόκειται για ένα στοιχειώδες μοτίβο σε παραλληλόγραμμο. Επειδή η πλακόστρωση προκύπτει από την ταύτιση και αντιστροφή των απέναντι πλευρών, το πλακίδιο στη πλακόστρωση είναι ισοδύναμο με τον δακτύλιο του Moebius.

Ομάδα pmg

Το βασικό σχήμα είναι το ορθογώνιο. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 4 οικογένειες στροφών κατά $180^ο$, 2 οικογένειες συμμετρίας παραλλήλων αξόνων και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση πάνω σε άξονες καθέτους στους προηγούμενους άξονες συμμετρίας. Τα κέντρα στροφής βρίσκονται στους άξονες συμμετρίας της συμμετρίας με ολίσθηση.

Το στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στα αριστερά του παρακάτω Σχήματος 23.

Ομάδα pmg

H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 4 οικογένειες αξονικής συμμετρίας ανά 2 με κάθετους άξονες και 4 οικογένειες στροφών κατά $180^{o}$ των οποίων τα κέντρα είναι τα σημεία τομής των αξόνων συμμετρίας.

Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι το ορθογώνιο. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος.

Ομάδα cmm

H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 2 οικογένειες αξονική συμμετρίας με κάθετους άξονες και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση με άξονες το τετράγωνο με κορυφές τα μέσα του αρχικού και 4 οικογένειες στροφής κατά $180^o$ των οποίων οι 3 είναι οι κορυφές του τετραγώνου/ρόμβου και 1 οι τομές των αξόνων συμμετρίας με ολίσθηση.

Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι το τετράγωνο ή ο ρόμβος. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος.

Ομάδα p4g

H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 2 οικογένειες αξονικής συμμετρίας ανά 2 με κάθετους άξονες και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση, οι τομές των αξόνων συμμετρίας και 2 οικογένειες στροφής κατά $90^o$ των οποίων τα κέντρα είναι οι κορυφές και το κέντρο του τετραγώνου.

Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος.

Ομάδα p31m

Το πλέγμα (το σύστημα μεταφοράς) είναι εξαγωνικό (ή ρομβικό με γωνία $120^ο$). Αυτό σημαίνει ότι το μοτίβο μπορεί να μεταφραστεί (να μετακινηθεί) προς δύο κατευθύνσεις που σχηματίζουν γωνία $120^ο$ μεταξύ τους και το αποτέλεσμα να είναι πανομοιότυπο.
H ομάδα αυτή περιέχει στροφές τάξης 3 ($120^{ο}$): Διαθέτει κέντρα περιστροφής $120^{ο}$. Αυτό σημαίνει ότι αν περιστρέψετε το μοτίβο κατά $120^{ο}$ γύρω από ένα τέτοιο σημείο, θα ταυτιστεί με τον εαυτό του.
Συμμετρίες: Υπάρχουν άξονες συμμετρίας. Στην p31m, αυτοί οι άξονες δεν είναι παράλληλοι με τις βασικές κατευθύνσεις του πλέγματος, αλλά σχηματίζουν γωνίες $60^{ο}$ μεταξύ τους.
Συμμετρίες με ολίσθηση: Συνδυασμός ανάκλασης και μεταφοράς (ολίσθησης) κατά μήκος του άξονα της συμμετρίας.

Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος που είναι το τέταρτο ενός κανονικού εξαγώνου. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος 36.

Ομάδα p3m1

Η ομάδα περιέχει στροφές τάξης 3 ( $120^{o}$): Υπάρχουν κέντρα περιστροφής $120^{ο}$.

Συμμετρίες: Η ομάδα διαθέτει άξονες συμμετρίας, οι οποίοι σε αυτήν την ομάδα είναι παράλληλοι προς τις πλευρές του πλεγματικού κελιού (ή προς μία από τις βασικές κατευθύνσεις μεταφοράς). Συγκεκριμένα, οι άξονες ανάκλασης τέμνονται υπό γωνία $120^{ο}$.
Συμμετρίες με ολίσθηση: Μπορεί να υπάρχουν και συμμετρίες ολίσθησης, ανάλογα με την ακριβή θέση των στοιχείων.

Η βασική διαφορά μεταξύ των δύο ομάδων p3m1 και p31m, έγκειται στη σχετική θέση των αξόνων συμμετρίας ως προς τα κέντρα περιστροφής:

Στην p3m1, όλοι οι άξονες συμμετρίας διέρχονται από τα κέντρα περιστροφής $120^ο$. Αν τοποθετήσετε ένα κέντρο περιστροφής, από αυτό θα περάσουν τρεις άξονες συμμετρίας, σχηματίζοντας γωνίες $69^ο$ μεταξύ τους (σαν ακτίνες ενός αστεριού).

Στην p31m, οι άξονες συμμετρίας δεν διέρχονται από όλα τα κέντρα περιστροφής. Υπάρχουν κέντρα περιστροφής που βρίσκονται πάνω σε άξονες συμμετρίας, αλλά και άλλα που βρίσκονται ανάμεσα σε άξονες. Αυτό δημιουργεί ένα διαφορετικό μοτίβο.

Συνοπτικά: Η p3m1: Οι άξονες συμμετρίας περνάνε από τα κέντρα περιστροφής.
Στην p31m: Οι άξονες συμμετρίας περνάνε ανάμεσα από τα κέντρα περιστροφής (ή μόνο από μερικά).

Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι εξαγωνικό (ή ρομβικό με γωνία $120^ο$), ίδιο με της p31m. Η μοναδιαία κυψελίδα είναι ρόμβος με γωνία $60^ο \hbox{ ή } 120^o.$

Ομάδα p4m

H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 4 οικογένειες αξονικής συμμετρίας με τους άξονες ανά δύο κάθετους (οριζόντια, κάθετα και διαγώνια), 2 οικογένειες στροφών $90^ο$ (4ης τάξης), 2 οικογένειες στροφών κατά $180^ο$ και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση.

Το βασικό σχήμα είναι τετράγωνο. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στα αριστερά του παρακάτω Σχήματος 39.

Ομάδα p6m

H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 6 οικογένειες συμμετρίας προς διαφορετικές διευθύνσεις, 1 οικογένεια κέντρων στροφής κατά $60^ο$, 2 οικογένειες στροφής κατά $120^ο$, 3 οικογένειες στροφής κατά $180^ο$ και επί προσθέτως υπάρχουν 6 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση μεταξύ των αξόνων συμμετρίας. 4 οικογένειες αξονικής συμμετρίας με τους άξονες ανά δύο κάθετους (οριζόντια, κάθετα και διαγώνια), 2 οικογένειες στροφών $90^ο$, 2 οικογένειες στροφών κατά $180^ο$ και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση.

Η p6m είναι μία από τις δύο ομάδες (μαζί με την p4m) που έχουν την υψηλότερη δυνατή συμμετρία για περιοδικά μοτίβα.

Το βασικό είναι ο ρόμβος. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στα αριστερά του παρακάτω Σχήματος 39.