Στην ιστοσελίδα “Images des Maths” http://images.math.cnrs.fr/Le-probleme-de-Sin-Pan.html , ο Aziz El Kacimi παρουσιάζει το 2014 το Πρόβλημα1 του Sin Pan.
Ο Aziz El Kacimi αρχίζει με ένα ανέκδοτο2:
“Ο θρύλος λέει ότι ο Sin Pan3, ένας Κινέζος γεωμέτρης της αρχαιότητας, ήθελε να ιδρύσει μια ακαδημία γεωμετρίας. Ζήτησε από τον αυτοκράτορα της εποχής να του παραχωρήσει ένα οικόπεδο για να χτίσει ένα κτίριο για τον σκοπό αυτό. Ο αυτοκράτορας, θέλοντας πρώτα να βεβαιωθεί ότι είχε να κάνει με έναν πραγματικό γεωμέτρη, απάντησε: «Έχω ένα κομμάτι γης σε σχήμα πενταγώνου. Έχω σημειώσει τα μέσα των πλευρών του με πέντε οριοθετικές πλάκες. Σχεδιάστε τα όρια αυτής της γης και θα είναι δική σας.”
Όπως σημειώνει στο τέλος ο συγγραφέας, “… Σκέφτηκα ότι θα μπορούσα να το χρησιμοποιήσω στο μάθημα γεωμετρίας μου με τους τριτοετείς προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές μου. Δεν ξέρω αν υπήρχε στην πραγματικότητα ο Sin Pan. Νομίζω ότι το άτομο που έθεσε αυτό το πρόβλημα ήθελε να δώσει λίγο πιο πικάντικο χαρακτήρα χτίζοντας αυτόν τον μύθο γύρω από αυτό. Και αυτό είναι σίγουρα καλό: προσελκύεις περισσότερο τους ανθρώπους όταν τους το παρουσιάζεις με αυτή τη μορφή μιας μικρής ιστορίας παρά με τον “στεγνό” τρόπο που κάνουμε συνήθως στα μαθηματικά! (Τουλάχιστον, αυτό έχω παρατηρήσει!)“
Κατασκευάστε ένα πολύγωνο n πλευρών δεδομένων των n μέσων σημείων των πλευρών, που συμβολίζονται με \(M_1, M_2,\dots, M_n\).
Υποθέτουμε στη συνέχεια ότι το \(n\) είναι περιττό (το αρχικό πρόβλημα στη περίπτωση αυτή αφορά ένα πεντάγωνο). Το πολύγωνο δεν είναι απαραίτητα κυρτό και μπορεί ακόμη και να αυτοτέμνεται.
Ο El Kacimi αποδεικνύει ότι η ακόλουθη κατασκευή δίνει τη μοναδική λύση στο πρόβλημα:
- Έστω \(A_1\) οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο. Εκτελούμε \(n\) κεντρικές συμμετρίες ως εξής: Το \(A_2\) θα είναι η ανάκλαση του \(A_1\) με κέντρο το \(M_1\), το \(A_3\) η ανάκλαση του \(A_2\) με κέντρο το \(M_2\), και ούτω καθεξής, μέχρι το \(\Gamma_1\) που θα είναι η ανάκλαση του \(A_n\) με κέντρο το \(M_n\) (φαίνεται με μπλε χρώμα στο σχήμα).
Φυσικά, αν από κάποιο θαύμα το \(\Gamma_1\) τύχει να συμπέσει με το \(A_1\), τα σημεία \(Α_1\) έως \(A_n\) παρέχουν τη λύση στο πρόβλημα, αλλά αυτό δεν θα συμβαίνει γενικά. Έτσι, ξαναρχίζουμε! Εκτελούμε μια άλλη σειρά κεντρικών συμμετριών: το \(\Gamma_2\) θα είναι η ανάκλαση του \(\Gamma_1\) με κέντρο το \(M_1\), το \(\Gamma_3\) η ανάκλαση του \(\Gamma_2\) με κέντρο το \(\Gamma_2\), και ούτω καθεξής (κόκκινα γράμματα στο Σχήμα 1), και αυτή τη φορά η ανάκλαση του \(\Gamma_n\) με κέντρο το \(M_n\) θα είναι πράγματι το \(A_1\)! Αυτό είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να αποδείξουμε.
- Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε τα σημεία \(K_1\) έως \(K_n\), τα αντίστοιχα μέσα σημεία των τμημάτων \(A_1\Gamma_1\) έως το \(A_n\Gamma_n\). Η λύση του προβλήματος είναι τότε το πολύγωνο \(K_1\dots K_n\) (πράσινη γραμμή στο σχήμα). Αυτό είναι το δεύτερο πράγμα που το άρθρο αποδεικνύει.
H επιλογή του σημείου αφετηρίας \(Α_1\) γίνεται ως εξής: κατασκευάζει το παραλληλόγραμμο \(M_1M_2M_3A\) και στη συνέχεια το παραλληλόγραμμο \(AM_6M_7A_1\). Αρχίζουμε τις κεντρικές συμμετρίες από το \(A_1\). Αποδεικνύει ότι το πολύγωνο \(K_1\dots K_n\) είναι μοναδικό.
Στο Σχήμα 2 βλέπετε την κατασκευή πενταγώνου. \(M_1, M_2,\dots, M_5\) είναι τα μέσα των πλευρών του ζητούμενου πενταγώνου \(Α_1, Α_2,\dots, Α_5\).
Όταν το \(n\) είναι άρτιος, ο Kacimi αποδεικνύει την εξής βασική συνθήκη ύπαρξης του \(n\)-γώνου
\begin{equation}\overrightarrow{M_1M_2}+\overrightarrow{M_3M_4}+\dots +\overrightarrow{M_{n-1}M_n}=\overrightarrow{0}\label{eq:1}\end{equation}
Υπάρχουν άπειρα πολύγωνα που έχουν μέσα πλευρών τα σημεία \(M_1, M_2,\dots, M_n\). Στο Σχήμα 3 βλέπετε τρία τέτοια εξάπλευρα με μέσα πλευρών τα σημεία \(Μ_i\). Ένα αρχίζει από το σημείο \(A_1\) (κόκκινη γραμμή), το \(B_1\) (πράσινο εξάγωνο) και το σημείο \(\Gamma_1\) (μωβ εξάγωνο). H συνθήκη για την ύπαρξη των πολυγώνων στο συγκεκριμένο εξάγωνο είναι: $$\overrightarrow{M_1M_2}+\overrightarrow{M_3M_4} +\overrightarrow{M_5M_6}=\overrightarrow{0}$$ Η συνθήκη αυτή είναι μια γενίκευση της συνθήκης Varignon στο τετράπλευρο, δείτε παρακάτω.
Στο τετράπλευρο τα μέσα των πλευρών \(M_1, M_2,Μ_3,Μ_4\) πρέπει να σχηματίζουν παραλληλόγραμμο, \(\overrightarrow{M_1M_2}+\overrightarrow{M_3M_4}=\overrightarrow{0}\), Σχήμα 4.
Το αποτέλεσμα4 αυτό του Kacimi μπορούμε να το δούμε και μέσα από την γενική θεωρία της Αφινικής Γεωμετρίας. Ξεκινάμε από ένα σημείο \(X\) και εφαρμόζουμε κεντρικές συμμετρίες ως προς τις κορυφές \(M_1,M_2,\dots M_n\) ενός πολυγώνου. Η συμμετρία ως προς \(Q\) δίνεται από τον τύπο $$P\to 2Q-P$$ Αν εφαρμόσουμε διαδοχικά συμμετρίες ως προς \(M_1,M_2,\dots M_n\), το αρχικό σημείο \(X\) μετασχηματίζεται στο: $$Χ_k=2M_k-2M_{k-1}+2M_{k-2}+\dots + (-1)^{k-1}2M_1+(-1)^kX$$
Έστω ότι το πολύγωνο έχει περιττό αριθμό κορυφών \(n\). Η επαναληπτική διαδικασία μετά από \(n\) βήματα δίνει: $$Χ_x=2M_n-2M_{n-1}+\dots +2M_2+2M_1-X$$ Επειδή \(n\) περιττός, η σχέση καταλήγει στη μορφή: $$X_n=C-X$$ για κάποια σταθερά \(C\) που εξαρτάται μόνο από τις κορυφές \(M_i\).
Για να είναι η τροχιά κλειστή (δηλαδή \(X_n=X\) ), χρειάζεται: $$C-X=X \Rightarrow 2X=C\Rightarrow X=\frac{C}{2}$$ Άρα υπάρχει ακριβώς ένα σημείο \(X\) που οδηγεί σε κλειστή τροχιά μετά από \(n\) βήματα.
Το σημείο αυτό δίνεται από τον τύπο: $$X=M_1+\overrightarrow{M_2M_3}+\overrightarrow{M_4M_5}+\dots +\overrightarrow{M_{n-1}M_n}$$
Συμπέρασμα για \(n\) περιττό:
Η συνθήκη \(X_n=X\) έχει μοναδική λύση, επομένως υπάρχει ακριβώς ένα σημείο εκκίνησης που δίνει κλειστή τροχιά μετά από \(n\) συμμετρίες.
Έστω τώρα ότι ο αριθμός κορυφών \(n\) είναι άρτιος.
Στην περίπτωση αυτή, μετά από \(n\) βήματα, η έκφραση παίρνει τη μορφή: $$X_n=X+V$$ όπου \(V\) είναι ένα σταθερό διάνυσμα που εξαρτάται από τις κορυφές: $$V=2(M_n-M_{n-1}+M_{n-2}+\dots +M_2-M_1)$$ ή ισοδύναμα $$V=2\Big((M_2-M_1)+(M_4-M_3)+\dots + (M_n-M_{n-1})\Big)$$
Για να είναι η τροχιά κλειστή (δηλαδή \(X_n=X\). πρέπει \(V=0\). Η συνθήκη γράφεται: $$\overrightarrow{M_1M_2}+\overrightarrow{M_3M_4}+\dots +\overrightarrow{M_{n-1}M_n}=\overrightarrow{0}$$
Αν η παραπάνω συνθήκη ισχύει, τότε \(X_n=X\) για κάθε αρχικό σημείο \(X\). Δηλαδή όλες οι τροχιές είναι κλειστές (ανεξάρτητα από το σημείο εκκίνησης).
- Το πρόβλημα είναι γνωστό. Δείτε επίσης: Yaglom Geometric transformations (volume 1, chapitre 1, problème 15).
Επίσης, διδάχθηκε από τον M. Lionnet, καθηγητή στο Louis-le-Grand το 1844, και από τον Prouhet A., (Nouvelles Annales de Mathematiques, 1844, σ. 19), καθηγητή στην École Polytechnique. Έγιναν γνωστές από το έργο “Exercices de Géométrie” του FGM, προβλήματα 556, 1036 και 1049. Το πρόβλημα 556 είναι σύμφωνο με την κατασκευή του Prouhet A. ↩︎ - μτφρ. Λυγάτσικας Ζ. ↩︎
- Προφανώς όσο και να ψάξετε δεν πρόκειται να βρείτε το όνομα αυτό …. Την ιστορία τη βρήκε σε ένα forum! ↩︎
- Πάνω στο ίδιο θέμα είναι και η διαπραγμάτευση πάνω στα αφινικά κανονικά πολύγωνα του Pierre Lacompte. ↩︎