Blog Μαθηματικών και Εκπαιδευτικών Θεμάτων

Απάντηση:

1. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και $$f'(x)=-5\sin(x)+5\sin(5x)=5(\sin(5x)-\sin(x))$$ Για \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin(5x)=\sin(x)\). Άρα:
   • \(5x=x+2k\pi\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\).
   • \(5x=\pi-x+2k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\).

Όταν \(x\in [0,\pi/4]\) οι δυνατές τιμές είναι:

• Στη πρώτη περίπτωση: για \(k=0\) θα πάρουμε \(x=0\).
• Στη δεύτερη περίπτωση: για \(k=0\) θα πάρουμε \(x=\pi/6\).

Άρα, τα κρίσιμα σημεία είναι τα \(0\) και \(\pi/6\), προσθέτουμε και τα άκρα του διαστήματος: \(0,\pi/6,\pi/4\). Οι δε τιμές της συνάρτησης στα σημεία αυτά είναι: $$ \begin{array}{lcl}f(0)&=&5\cdot 1-1=4,\\ f(\pi/6)&=&5\cos(\pi/6)-\cos(5\pi/6)=3\sqrt{3},\\ f(\pi/4) &=& 5\cos(\pi/4)-\cos(5\pi/4)=3\sqrt{2}.\end{array}$$ Άρα, μέγιστο στο διάστημα είναι \(3\sqrt{3}\), για \(x=\pi/6\).

2. Με απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι: $$\forall y\in [a-\theta,a+\theta]\hbox{ ισχύει } \cos(y) >\cos(\theta)$$ Το σύνολο των σημείων όπου \(\cos(y)>\cos(\theta)\) είναι η ένωση των ανοιχτών διαστημάτων $$(-\theta +2k\pi,\theta+2k\pi),\ k\in\mathbb{Z}$$ Αυτό συμβαίνει γιατί η \(\cos(y)>\cos(\theta)\) αληθεύει όταν η γωνία \(y\mod(2\pi)\) βρίσκεται στο διάστημα \((-\theta,\theta)\), αφού το συνημίτονο είναι φθίνουσα συνάρτηση στο \([0,\pi]\) και άρτια. Τώρα, επειδή το \([a-\theta,a+\theta]\) είναι συνεκτικό, πρέπει να περιέχεται εξ ολοκλήρου σε ένα από αυτά τα ανοικτά διαστήματα. Άρα, υπάρχει \(k\in\mathbb{R}\) τέτοιο ώστε: $$-\theta +2k\pi<a-\theta\hbox{ και } a+\theta <\theta +2k\pi$$ Από την πρώτη ανισότητα \(a>2k\pi\) ενώ από τη δεύτερη \(a<2k\pi\). Άτοπο, άρα: $$\exists y\in [a-\theta,a+\theta]\hbox{ με }\cos(y)\leq \cos(\theta)$$

3. To 3o ερώτημα είναι ανεξάρτητο του 2ου ερωτήματος (τουλάχιστον η απόδειξη που δώσαμε το θέλει ανεξάρτητο).

Η στρατηγική που θα ακολουθήσουμε είναι η εξής: Σχεδιάζοντας στο GeoGebra το γράφημα της συνάρτησης $$f_t(x)=5\cos(x)-\cos(5x+t)$$ παραμετρικοποιημένο ως προς \(t\), βλέπουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή για κάποιες τιμές του \(x\) μέσα στο διάστημα \([-\pi/6,\pi/6]\), (να ληφθεί υπόψη η περίοδος). Αλλά αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι το ότι αυτά τα μέγιστα έχουν κάτω φράγμα το \(3\sqrt{3}\), (το οποίο είναι ένα μέγιστο της συνάρτησης, \(f_0(x)\), στη πρώτη ερώτηση). Αυτή η κατάσταση απεικονίζεται στο παρακάτω gif και καλούμαστε να τη μοντελοποιήσουμε στην απόδειξη του ερωτήματος.

• Συμπέρασμα 1ο: Θα δείξω ότι \(\forall t\in\mathbb{R}\ \exists x\in\mathbb{R}:\ f_t(x)\geq 3\sqrt{3}\). Tο κάτω φράγμα δείχνει ότι κανέτα \(t\) δεν μπορεί να κάνει το μέγιστο της \(f_t\) μικρότερο από \(3\sqrt{3}\), δηλαδή: $$\underset{x }{\max} {f_t(x)}\geq 3\sqrt{3},\quad \forall t$$ (Προσοχή, δεν λέμε \(\forall x\) αλλά ότι υπάρχουν κάποια \(x\). Επομένως, το μέγιστο της συνάρτησης είναι τουλάχιστον το \(3\sqrt{3}\). Αυτό μας ενδιαφέρει).
• Συμπέρασμα 2ο: Θα δείξω ότι \(\forall x\in\mathbb{R}:\ f_0(x)\leq 3\sqrt{3}\), αυτό σημαίνει ότι το μέγιστο της \(f_0\) είναι το πολύ \(3\sqrt{3}\), δηλαδή: $$\underset{x }{\max} {f_0(x)}\leq 3\sqrt{3}$$
• Συνδυάζοντας υα δύο προηγούμενα: για \(t=0\): $$\underset{x }{\max} {f_0(x)}\geq 3\sqrt{3}$$ $$\underset{x }{\max} {f_0(x)}\leq 3\sqrt{3}$$ Άρα: \(\underset{x }{\max}{f_0(x)} = 3\sqrt{3}\).
• Συμπέρασμα: Επομένως υπάρχει \(t=0\) έτσι ώστε το ελάχιστο μέγιστο της \(f_0(x)\) να είναι το \(3\sqrt{3}\).

Για ένα σταθερό \(t\), ορίζουμε: $$x_k=\frac{\pi-t+2k\pi}{6},\ k=0,1,2,3,4,5$$
Επειδή \(x_{k+1}-x_k=\frac{\pi}{3}\), τα \(x_k\) είναι ισαπέχοντα κατά \(\pi/3\).

Από τον όρισμό:
$$6x_k=\pi-t+2k\pi \Rightarrow 6x_k+t=\pi+2k\pi \Rightarrow 5x_k+t=\pi-x_k+2k\pi$$
και
$$\cos(5x_k+t)=\cos(\pi-x_k+2k\pi)=\cos(\pi-x_k)=-\cos(x_k)$$
Συνεπώς \(f_t(x_k)=5\cos(x_k)-(-\cos(x_k))=6\cos(x_k)\).

Θα δείξω τώρα ότι υπάρχει σημείο στον τριγ. κύκλο με “μεγάλο” συνημίτονο. Διαφορετικά, θα δείξω ότι υπάρχει \(k\) έτσι ώστε \(\cos(x_k)\geq \sqrt{3}/2\).

Τα \(x_k\) είναι έξι σημεία του κύκλου μήκους \(2\pi\) με απόσταση \(\pi/3\) μεταξύ τους. Το διάστημα των γωνιών στο οποίο συμβαίνει \(\cos(y)\geq \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2\) είναι \(\mod\ 2\pi\) το διάστημα \([-\pi/6,\pi/6]\) με πλάτος \(\pi/3\). Αυτό συμβαίνει γιατί η συνάρτηση \(\cos\) είναι αφ’ ενός φθίνουσα με την ανισότητα να ισχύει για \(y\leq \pi/6\) στο \([0,\pi/6]\) και αφ’ ετέρου είναι άρτια.

Τώρα, φανταστείτε τοποθετούμε 6 σημεία \(x_k\) σε έναν κύκλο, χωρισμένα με απόσταση \(\pi/3\). Αυτά τα σημεία μοιράζουν τον κύκλο σε 6 ίσα τόξα πλάτους \(\pi/3\).

Τότε από την αρχή του Dirichlet, ή και με απλή γεωμετρία, ένα τουλάχιστον από αυτά τα 6 σημεία είναι μέσα στο διάστημα \([-\pi/6,\pi/6]\) (στο εσωτερικό ή στα σύνορά του), δείτε το gif στο Σχήμα. Σε αντίθετη περίπτωση τα 6 σημεία δεν μπορεί να απέχουν το ένα από το άλλο \(\pi/3\)!

Άρα για αυτό το \(k\) έχουμε: $$\cos(x_k)\geq \cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Τότε:
$$f_k(x)=6\cos(x_k)\geq 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

Έτσι για κάθε \(t\), η συνάρτηση \(f_t\) παίρνει τιμή τουλάχιστον \(3\sqrt{3}\), είναι το κάτω φράγμα. Επομένως, όποιο \(b\) κι αν επιλεγεί για να ισχύει \(f_t(x)\leq b\) για όλα τα \(x\) (και για κάποιο \(t\)), πρέπει αναγκαστικά
\begin{equation}
b\geq 3\sqrt{3}\quad (1)
\end{equation}

Θα δείξω τώρα ότι υπάρχει κάποιο \(t\) για το οποίο η \(f_t\) έχει μέγιστη τιμή \(3\sqrt{3}\). Θα πάρω \(t=0\) και θα δείξω ότι \(f_0(x)\leq 3\sqrt{3}\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Η \(f_0\) είναι περιοδική με περίοδο \(2\pi\), οπότε αρκεί να εξετάσουμε το διάστημα \([0,2\pi]\).

\(f’_0(x)=5\Big(\sin(5x)-\sin(x)\Big)\). Τα κρίσιμα σημεία στο \([0,2\pi]\) είναι:

• Από \(5x=x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\).
• Από \(5x=\pi-x+2k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\).

Στο \([0,2\pi]\) έχω για τη πρώτη οικογένεια:

• \(f_0(0)=4\).
• \(f_0(\pi/2)=0\).
• \(f_0(\pi)=-4\).
• \(f_0(3\pi/2)=0\).
• \(f_0(2\pi)=4\).

Για τη δεύτερη οικογένεια, έχουμε \(\cos(5x)=-\cos(x)\), άρα \(f_0(x)=6\cos(x)\). Οι τιμές του συνημιτόνου \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)\) για \(k=0,1,2,3,4,5\) είναι αντίστοιχα: $$\frac{\sqrt{3}}{2},\ 0,\ -\frac{\sqrt{3}}{2},\ -1,\ -\frac{\sqrt{3}}{2},\ 0$$
Με μέγιστη τιμή για τη συνάρτηση \(f_0(x)\) την \(6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\).

Συγκρίνουμε τα δύο μέγιστα \(4\) και \(3\sqrt{3}\) βλέπουμε ότι $$\forall x\in\mathbb{R},\ \max {f_0(x)}=3\sqrt{3}$$
Επομένως όταν \(t=0\) η συνθήκη ικανοποιείται όταν
\begin{equation}
b=3\sqrt{3}\quad (2)
\end{equation}
Από (1) και (2), η ελάχιστη δυνατή τιμή του \(b\) είναι \(3\sqrt{3}\).\(\blacksquare\)

1. Διαγωνιμός Κϊνα 2025, άσκηση 19. ↩︎
2. Η ερώτηση αυτή είναι ιδιαίτερα απαιτητική. Για να την αντιμετωπίσει επιτυχώς, ένας μαθητής πρέπει να διαθέτει ένα ευρύ φάσμα γνώσεων και δεξιοτήτων.
   Ερώτημα σαν αυτό θα μπορούσε να μπει ως άσκηση approfondissement, αλλά φυσικά ανήκει στις Classes Préparatoires (MPSI/PCSI), όπου το \(\exists\forall \) είναι καθημερινότητα.
   Πρέπει να σκεφτείς ότι το μέγιστο θα συμβεί αναγκαστικά στα σημεία όπου οι δύο ημιτονοειδείς συγχρονίζονται, και μετά να χρησιμοποιήσεις συμμετρία του κύκλου για να βρεις το βέλτιστο \(t\).
   Η άσκηση αυτή δεν είναι τυπική ρουτίνας. Απαιτεί συνδυαστική σκέψη και την εφαρμογή μιας μη-προφανούς στρατηγικής. Θα την κατέτασσα ως εξής:
   1) Επίπεδο: Πολύ υψηλό, κατάλληλο για μαθητές που στοχεύουν σε άριστη βαθμολογία.
   2) Τύπος: Άσκηση εμβάθυνσης ή επέκτασης.
   3) Σύγκριση: Είναι σαφώς δυσκολότερη από τις τυπικές ασκήσεις τριγωνομετρίας. Θυμίζει περισσότερο πρόβλημα που θα συναντούσε κανείς σε διαγωνισμούς Μαθηματικών παρά σε ένα συνηθισμένο διαγώνισμα. Ταιριάζει σε εκπαιδευτικά συστήματα με ισχυρή έμφαση στα μαθηματικά, όπως η Κίνα και η Γαλλία (για τις Grandes ‘Ecoles). Δοκιμάζει όχι μόνο τις γνώσεις, αλλά κυρίως τη μαθηματική ευφυΐα και στρατηγική σκέψη. ↩︎