Blog Μαθηματικών και Εκπαιδευτικών Θεμάτων

Δίνονται¹ τα σημεία Α και Β στον άξονα των τετμημένων και Γ, Δ στον άξονα των τεταγμένων.

1. Να βρεθεί η εξίσωση των κωνικών που διέρχονται από τα τέσσερα αυτά σημεία.
2. Έστω τα σημεία Α=(3,0), Β=(9,0), Γ=(0,11), Δ=(0,2) όπως στο παραπάνω ερώτημα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κωνικών που διέρχονται από τα σημεία αυτά.

Απάντηση:

1. Αν,$$Α=(x_A,0),\ B=(x_B,0),\ \Gamma=(0,y_{\Gamma}),\ \Delta=(0,y_{\Delta})$$
   τότε οι δύο κωνικές:
   $$\left\{\begin{array}{ll} c_1:\ xy=0\\ c_2:\ \Bigg(\frac{x}{x_A}+\frac{y}{ y_{\Gamma}}-1\Bigg) \Bigg( \frac{x}{x_B}+\frac{y}{ y_{\Delta}}-1\Bigg)=0 \end{array}\right .$$
   διέρχονται από τα σημεία A,B,Γ,Δ. Δεν είναι δύσκολο να συμπεράνουμε ότι και η κωνική της μορφής, (είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού)
   $$\lambda c_1+c_2=0$$
   ικανοποιεί τη ζητούμενη συνθήκη. Για μια επιθυμητή τιμή της παραμέτρου λ η κωνική
   $$\lambda c_1+c_2=0$$
   θα μπορεί να ικανοποιεί οποιαδήποτε άλλη συνθήκη θέλουμε. Άρα:
   $$\begin{equation} \lambda xy+ \Bigg(\frac{x}{x_A}+\frac{y}{y_{\Gamma}}-1\Bigg) \Bigg( \frac{x}{x_B}+\frac{y}{y_{\Delta}}-1\Bigg)=0\label{smith1} \end{equation}$$
   είναι η γενική μορφή των εξισώσεων των κωνικών που διέρχονται από τα σημεία A,B,Γ και Δ.
2. Το πρώτο που θα κάνουμε είναι να βρούμε τη γενική μορφή των κέντρων των κωνικών της γενικής μορφής του πρώτου ερωτήματος. Τα δε κέντρα των κωνικών (άσκηση) αυτών έχουν συντεταγμένες που είναι οι λύσεις του συστήματος:

\begin{equation}\left\{\begin{array}{lcl}         \lambda y+          \displaystyle{1\over x_A}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+         \displaystyle{1\over x_B}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-1\Bigg)&=&0\\       \lambda x+               \displaystyle{1\over y_{\Gamma}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+        \displaystyle{1\over y_{\Delta}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-\Bigg)&=&0\\      \end{array}\right .\label{eq:4points}\end{equation}

Θεωρούμε λοιπόν τα δύο πολυώνυμα:

$$\begin{array}{lcl} p1&:=&\lambda y+            \displaystyle{1\over x_A}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+        \displaystyle{1\over x_B}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-1\Bigg)\\ p2&:=& \lambda x+         \displaystyle{1\over y_{\Gamma}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+        \displaystyle{1\over y_{\Delta}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-1\Bigg)  \end{array}$$

Απαλείφοντας τη παράμετρο λ από τη λίστα $\{p1,p2\}$, θα πάρουμε τον γ.τ., $\mathscr{T}$, των κέντρων των κωνικών που διέρχονται από τα σημεία A,B,Γ και Δ, με εξίσωση²:

H καμπύλη αυτή μετά από τα δεδομένα του προβλήματος για τις συντεταγμένες των σημείων. γίνεται:

Η καμπύλη της παραπάνω πολυωνυμικής εξίσωσης είναι η υπερβολή που βλέπουμε στο σχήμα. To σημείο \((0,0)\) δεν είναι σημείο του τόπου. Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο. Κάθε σημείο της \(q(x,y)\) είναι κέντρο μιας κωνικής.$\blacksquare$

1. Δείτε στο: Λυγάτσικας, Ζ., Κωνικές, εκδ. Liberal Books, 2013, σελίδα 256, ασκ. 197. ↩︎
2. Την ίδια καμπύλη θα πάρουμε αν υπολογίσουμε την παράσταση: $p1\cdot x -p2\cdot y=0.$ ↩︎