Κατηγορία: Γεωμετρικοί Τόποι – Automatic deduction in Computer Algebraic Systems using Groebner bases

• Symmetrical Loci in special triangle

  Given a triangle  $ABC$ whose side $AB$ has a fixed length $a$, and whose vertex $C$ moves on the circle centered at $A$ with radius $AB$. Show that the curves on which the orthocenter and the incenter move are symmetric with respect to the perpendicular bisector of $AB$. This problem extends some known results by Botana–Kovacs and Jares.

  Locus 1Λήψη

  2026.08.21

• Dolly’s problem

  Dolly (a female Finnish Dorset sheep and the first mammal cloned from an adult somatic cell, in 1996) is tied to an elliptic rail¹.

  

  She can move both inside and outside the rail at a distance equal to the length of the rope with which she is tied to the elliptical path. What curve describes the boundary within which Dolly can move?

  The boundary curve (blue) within which Dolly can move is shown in Figure.

  

  It is the envelope of the circles whose centers lie on the ellipse and whose radius is equal to the length of the rope by which Dolly is tied.

  Let us assume that the rope has length 1. At each point \(A\) of the elliptical path, the maximum distance Dolly can reach inside and outside the ellipse is the point of intersection of the circle centered at \(A\) with radius 1, and the line perpendicular at point \(A\) to the tangent to the ellipse at that point. Let this point be \(D\).

  

  Assume that the ellipse has equation: $$\frac{x^2}{4}+y^2=1$$ and that the coordinates of point \(A\) are \( (a,b)\).

  The tangent line \( (\tau)\) at the point \(A=(a,b)\) is \(\displaystyle{\frac{ax}{4}+by=1}\), with slope \(-\displaystyle{\frac{a}{4b}}\). Then, the normal line \( (\varepsilon )\) at the point \(A\) has equation: $$y-b=\frac{4b}{a}(x-a)$$

  Also, the equation of the circle is: $$(x-a)^2+(y-b)^2=1$$
  If we assume that point \(D\) has coordinates \( (x,y)\), then it lies on both the normal line and the circle. Therefore, we can write the polynomials of the problem: $$\begin{array}{ll}
  p1:=\frac{a^2}{4}+b^2-1 & \hbox{ Point \(A\) lies on the ellipse.}\\
  p2:=y-b-\frac{4b}{a}(x-a) & \hbox{ Equation of the normal line through points \(A\) and
  \(D\).}\\
  p3:=(x-a)^2+(y-b)^2-1 & \hbox{ Point \(D\) lies on the circle.}
  \end{array}$$

  Eliminating the variables \(a\) and \(b\) from the system of polynomials \(\{p1,p2,p3\}\) we obtain, for the given data, the curve \(\mathscr{D}\)²:
  $$10x^6y^2-10 x^6-120 x^4 y^2+16 y^8+8 y^6+40 y^6 x^2-210 y^4 x^2-207 y^4+450 x^2 y^2+33 x^4 y^4-324 y^2+9 x^4+x^8$$
  This curve is the boundary of the region within which Dolly can move, or equivalently, the envelope of circles centered on the ellipse with radius 1. \(\blacksquare\)

  1. See page 446 in Breton (De Champ) Sur les courbes paralleles a l’ ellipse, Nouvelles annales de Mathematiques, 1re Serie tome 3 (1844), p. 442-455. ↩︎
  2. The curve \(\mathscr{D}\) is called the parallel curve of the ellipse. Given a curve \(\mathscr{E}\) and a real number \(r\), the parallel curve with parameter \(r\) to the curve \(\mathscr{E}\), (see also wikipedia), is the envelope of circles of radius \(r\) whose centers lie at a point \(M\) on the curve \(\mathscr{E}\). We can also provide a parametric representation of the parallel curve \(\mathscr{D}\), which is as follows: suppose we have an ellipse with semi-major and semi-minor axes \(a\) και \(b\), \(b<a\). Let \(r>b\), If \(M\) is a point on the ellipse, then the parametric equation of the normal line at \(M\) with polar angle \(\theta\), is: $$\left\{\begin{array}{lcl} x &=& \alpha \displaystyle{\frac{b}{a}\text{cotan}(\theta)}+a\cos(\theta)\\ y&=& \alpha +b\sin(\theta) \end{array}\right .$$ where \(\alpha\in\mathbb{R}\) . Next, by expressing \(\alpha\) as a function of \(r,a\ \&\ b\), we obtain the parametric equations of the curve \(\mathscr{D}\) in terms of \(x\) and \(y\): $$\left\{\begin{array}{lcl} x&=&\left(a\pm\displaystyle{\frac{rb}{\sqrt{a^2\sin^2(\theta) +b^2\cos^2(\theta)}}}\right)\cos(\theta) \\ y &=& \left(b\pm \displaystyle{\frac{ra}{\sqrt{a^2\sin^2(\theta) +b^2\cos^2(\theta)}}}\right)\sin(\theta) \end{array}\right . $$ ↩︎

  2026.03.23

• Ορθοπτική Καμπύλη σε έλλειψη

  Ορθοπτική Καμπύλη σε έλλειψη $\mathscr{E}$ με εξίσωση $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\ a>b.$ Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων $M(x,y)$ του επιπέδου έτσι ώστε να είναι σημεία της ορθοπτικής¹ καμπύλης $\mathscr{C}$ της έλλειψης $\mathscr{E}$.

  

  Έστω $A=(u,v)$ και $B=(m,n)$ τα δύο σημεία εφαρμογής των εφαπτομένων με την έλλειψη. Τα πολυώνυμα του προβλήματος είναι τα εξής:

  \begin{array}{lcl} MA\hbox{ εφαπτ. } \mathscr{E}, &p1:=& \displaystyle{\frac{ux}{a^2}+\frac{vy}{b^2}-1}\\ MB\hbox{ εφαπτ. } \mathscr{E}, &p2:=&\displaystyle{ \frac{mx}{a^2}+\frac{ny}{b^2}-1}\\A\in \mathscr{E}, &p3:=&\displaystyle{ \frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}-1}\\B\in \mathscr{E}, &p4:=& \displaystyle{\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}-1}\\MA\perp MB, &p5:=& umb^4+nva^4 \end{array}

  Απαλείφοντας² τις μεταβλητές $\{u,v,m,n\}$ από τη λίστα των πολυωνύμων $\{p1,p2,p3,p4,p5\}$, θα πάρουμε τα πολυώνυμα:

  $$\underbrace{(y^4+2y^2x^2-2b^2y^2+2y^2a^2+b^4-2a^2x^2+x^4-2a^2b^2+a^4+2x^2b^2)}_{(q_1)}\underbrace{(-b^2+y^2+x^2-a^2)}_{(q_2)}$$

  Αναγνωρίζουμε αμέσως το πολυώνυμο $(q_2)$ που είναι η ορθοπτική καμπύλη $\mathscr{C}$ της έλλειψης $\mathscr{E}$, δηλαδή γενικά, ο κύκλος $x^2+y^2=a^2+b^2$.

  Για να δούμε τη φύση του πολυωνύμου $(q_1)$, θα πρέπει να ανατρέξουμε σε κάποιο παράδειγμα. Ας πάρουμε $a=3$ και $b=2$. Τότε το πολυώνυμο $(q_1)$ γίνεται:

  $$25-10x^2+10y^2+2y^2x^2+x^4+y^4$$

  Το πολυώνυμο αυτό παραγοντοπoιείται στην επέκταση $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ και είναι της μορφής:

  $$(x^2+2x\sqrt{5}+5+y^2)(x^2-2x\sqrt{5}+5+y^2)=\left((x+\sqrt{5})^2+y^2\right)\left((x-\sqrt{5})^2+y^2\right)$$

  που είναι δύο σημεία, $(-\sqrt{5},0)$ και $(\sqrt{5},0)$, οι δύο εστίες της έλλειψης $\displaystyle{\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$.

  Εδώ συμβαίνει κάτι απρόσμενο. Ας υποθέσουμε ότι οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα \(A=(u,v)\) και \(B=(m,n)\) έχουν εξισώσεις
  $$ \tau_A:\ b^2uX+a^2vY=a^2b^2, $$
  $$ \tau_B:\ b^2mX+a^2nY=a^2b^2 $$
  Χρησιμοποιώ εδώ \(X,Y\) για τις μεταβλητές της ευθείας.
  Για μια ευθεία \(\alpha X+\beta Y=\gamma\), το διάνυσμα \((\alpha,\beta)\) είναι κάθετο στην ευθεία. Επομένως,
  $$
  N_A=(b^2u,a^2v),\qquad N_B=(b^2m,a^2n)
  $$
  είναι κάθετα στην \(\tau_A\) και στην \(\tau_B\), αντίστοιχα.
  Όταν οι δύο εφαπτόμενες είναι κάθετες μεταξύ τους, και τα δύο αυτά διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους. Μάλιστα, αυτή ακριβώς τη συνθήκη εκφράζει το υπάρχον \(p_5\):
  $$
  N_A\cdot N_B=b^4um+a^4vn=0.
  $$
  Έπειτα, τι σημαίνει η ορίζουσα. Υπολογίζουμε:
  

  $$\det(N_A,N_B)=\begin{pmatrix}
  b^2u&a^2v\\
  b^2m&a^2n\\
  \end{pmatrix}
  =a^2b^2(un-vm).
  $$
  Η ορίζουσα δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν ακριβώς όταν τα διανύσματα είναι παράλληλα. Εδώ όμως τα \(N_A,N_B\) είναι κάθετα. Δεν μπορούν να είναι συγχρόνως και παράλληλα.

  Οι υπολογισμοί της βάσης Groebner πραγματοποιούνται όμως στο \(\mathbb C\)! Στους μιγαδικούς μπορεί να ισχύουν συγχρόνως η εξίσωση «καθετότητας» \(p_5=0\) και η εξίσωση \(un-vm=0\), ακόμη και για μη μηδενικά διανύσματα. Αυτό είναι το πρόβλημα που αποκλείουμε.
  Χρειάζεται όμως μια διευκρίνιση: η πρόσθετη συνθήκη δεν είναι απαραίτητη για την πραγματική γεωμετρική κατασκευή. Εκεί ισχύει ήδη. Την προσθέτουμε ώστε να αποκλείσουμε ανεπιθύμητες μιγαδικές λύσεις πριν από την απαλοιφή.
  Ας δούμε τη διαφορά.
  Για πραγματικά διανύσματα, αν η ορίζουσα μηδενίζεται, τα διανύσματα είναι παράλληλα. Αν επιπλέον το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν, τουλάχιστον ένα πρέπει να είναι το μηδενικό διάνυσμα. Πράγματι, αν \(N_B=tN_A\), τότε
  $$
  N_A\cdot N_B=t(N_A\cdot N_A).
  $$
  Για πραγματικό μη μηδενικό \(N_A=(\alpha,\beta)\),
  $$
  N_A\cdot N_A=\alpha^2+\beta^2>0.
  $$
  Άρα δύο μη μηδενικά πραγματικά διανύσματα δεν μπορούν να είναι συγχρόνως παράλληλα και κάθετα.
  Στους μιγαδικούς, όμως, το άθροισμα τετραγώνων μπορεί να μηδενίζεται χωρίς να μηδενίζονται οι συντεταγμένες. Πάρτε
  $$
  N_A=N_B=(1,i).
  $$
  Τότε:
  $$
  \det(N_A,N_B)=0,
  $$
  αλλά συγχρόνως
  $$
  1\cdot1+i\cdot i=1+i^2=0.
  $$
  Επομένως οι δύο πολυωνυμικές εξισώσεις ικανοποιούνται, παρότι έχουμε το ίδιο μη μηδενικό διάνυσμα δύο φορές.
  Εδώ χρησιμοποιούμε τον πολυωνυμικό τύπο \(\alpha\gamma+\beta\delta\), χωρίς μιγαδική συζυγία. Η μηδενική τιμή του στους μιγαδικούς δεν έχει την ίδια γεωμετρική ερμηνεία με την καθετότητα πραγματικών διανυσμάτων.
  Ακριβώς αυτό συμβαίνει στην άσκησή μας. Αν
  $$
  f=\sqrt{a^2-b^2},
  $$
  το σύστημα επιτρέπει τη λύση
  $$
  M=(f,0),\qquad
  A=B=\left(\frac{a^2}{f},\frac{i b^2}{f}\right).
  $$
  Το \(M\) είναι η πραγματική εστία, ενώ τα σημεία επαφής είναι μη πραγματικά και συμπίπτουν. Τα δύο κανονικά διανύσματα είναι
  $$
  N_A=N_B=\frac{a^2b^2}{f}(1,i).
  $$
  Άρα μηδενίζεται τόσο το \(p_5\) όσο και το \(un-vm\). Έτσι εξηγείται γιατί η εστία εμφανίζεται στην απαλοιφή, μολονότι δεν υπάρχουν δύο πραγματικές εφαπτομένες από αυτήν.

  Η πρόσθετη εξίσωση
  $$
  p6:=z(un-vm)-1=0$$
  αποκλείει αυτή τη λύση, επειδή για \(un-vm=0\) θα απαιτούσε \(-1=0\).

  Επαναλαμβάνοντας την απαλοιφή λοιπόν με το πολυώνυμο \(p6\) έχουμε:
  J :=PolynomialIdeal([p1,p2,p3,p4,p5,p6],} variables={x,y,m,n,u,v,z}):
  K :=EliminationIdeal(J,{x,y})}
  Generators(K)}}
  $$q_2(x,y)=y^2-b^2+x^2-a^2$$
  Οι εστίες δεν ανήκουν στην ορθοπτική, επειδή βρίσκονται στο εσωτερικό της έλλειψης και από αυτές δεν άγονται πραγματικές εφαπτομένες. Η εμφάνισή τους στην απαλοιφή οφείλεται σε λύσεις του πολυωνυμικού συστήματος με μη πραγματικά βοηθητικά σημεία επαφής. Αντίθετα, κάθε σημείο του κύκλου \(q_2(x,y)=0\) βρίσκεται έξω από την έλλειψη και ορίζει δύο πραγματικές κάθετες εφαπτομένες. Άρα η ορθοπτική είναι ολόκληρος ο κύκλος \(x^2+y^2=a^2+b^2\).$\blacksquare$

  1. Μια καμπύλη ονομάζεται ορθοπτική μιας άλλης, αν από κάθε σημείο της οι εφαπτόμενες που άγονται προς την καμπύλη είναι μεταξύ τους κάθετες. ↩︎
  2. Η απαλοιφή γίνεται με αλγορίθμους βάσης Groebner. Στο Maple 11.01 χρησιμοποιούμε τις εντολές: PolynomialIdeal και EliminationIdeal του πακέτου with(PolynomialIdeals). ↩︎

  2026.03.03

• ΖΛ Κωνικές σελίδα 256_ ασκ. 197

  Δίνονται¹ τα σημεία Α και Β στον άξονα των τετμημένων και Γ, Δ στον άξονα των τεταγμένων.

  

  1. Να βρεθεί η εξίσωση των κωνικών που διέρχονται από τα τέσσερα αυτά σημεία.
  2. Έστω τα σημεία Α=(3,0), Β=(9,0), Γ=(0,11), Δ=(0,2) όπως στο παραπάνω ερώτημα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κωνικών που διέρχονται από τα σημεία αυτά.

  Απάντηση:

  1. Αν,$$Α=(x_A,0),\ B=(x_B,0),\ \Gamma=(0,y_{\Gamma}),\ \Delta=(0,y_{\Delta})$$
     τότε οι δύο κωνικές:
     $$\left\{\begin{array}{ll} c_1:\ xy=0\\ c_2:\ \Bigg(\frac{x}{x_A}+\frac{y}{ y_{\Gamma}}-1\Bigg) \Bigg( \frac{x}{x_B}+\frac{y}{ y_{\Delta}}-1\Bigg)=0 \end{array}\right .$$
     διέρχονται από τα σημεία A,B,Γ,Δ. Δεν είναι δύσκολο να συμπεράνουμε ότι και η κωνική της μορφής, (είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού)
     $$\lambda c_1+c_2=0$$
     ικανοποιεί τη ζητούμενη συνθήκη. Για μια επιθυμητή τιμή της παραμέτρου λ η κωνική
     $$\lambda c_1+c_2=0$$
     θα μπορεί να ικανοποιεί οποιαδήποτε άλλη συνθήκη θέλουμε. Άρα:
     $$\begin{equation} \lambda xy+ \Bigg(\frac{x}{x_A}+\frac{y}{y_{\Gamma}}-1\Bigg) \Bigg( \frac{x}{x_B}+\frac{y}{y_{\Delta}}-1\Bigg)=0\label{smith1} \end{equation}$$
     είναι η γενική μορφή των εξισώσεων των κωνικών που διέρχονται από τα σημεία A,B,Γ και Δ.
  2. Το πρώτο που θα κάνουμε είναι να βρούμε τη γενική μορφή των κέντρων των κωνικών της γενικής μορφής του πρώτου ερωτήματος. Τα δε κέντρα των κωνικών (άσκηση) αυτών έχουν συντεταγμένες που είναι οι λύσεις του συστήματος:

  \begin{equation}\left\{\begin{array}{lcl}         \lambda y+          \displaystyle{1\over x_A}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+         \displaystyle{1\over x_B}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-1\Bigg)&=&0\\       \lambda x+               \displaystyle{1\over y_{\Gamma}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+        \displaystyle{1\over y_{\Delta}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-\Bigg)&=&0\\      \end{array}\right .\label{eq:4points}\end{equation}

  Θεωρούμε λοιπόν τα δύο πολυώνυμα:

  $$\begin{array}{lcl} p1&:=&\lambda y+            \displaystyle{1\over x_A}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+        \displaystyle{1\over x_B}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-1\Bigg)\\ p2&:=& \lambda x+         \displaystyle{1\over y_{\Gamma}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_B}+\displaystyle{y\over y_{\Delta}}-1\Bigg)+        \displaystyle{1\over y_{\Delta}}\Bigg(\displaystyle{x\over x_A}+\displaystyle{y\over y_{\Gamma}}-1\Bigg)  \end{array}$$

  Απαλείφοντας τη παράμετρο λ από τη λίστα $\{p1,p2\}$, θα πάρουμε τον γ.τ., $\mathscr{T}$, των κέντρων των κωνικών που διέρχονται από τα σημεία A,B,Γ και Δ, με εξίσωση²:

  $$-2y_{\Gamma}x^2y_{\Delta}+xy_{\Gamma}x_{B}y_{\Delta}+xy_{\Delta}x_{A}y_{\Gamma}+2x_{A}y^2x_{B}-x_{A}x_{B}y_{\Delta}y-x_{B}x_{A}y_{\Gamma}y$$

  H καμπύλη αυτή μετά από τα δεδομένα του προβλήματος για τις συντεταγμένες των σημείων. γίνεται:

  $$q(x,y)=-44x^2+264x+54y^2-351y=0$$

  Η καμπύλη της παραπάνω πολυωνυμικής εξίσωσης είναι η υπερβολή που βλέπουμε στο σχήμα. To σημείο \((0,0)\) δεν είναι σημείο του τόπου. Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο. Κάθε σημείο της \(q(x,y)\) είναι κέντρο μιας κωνικής.$\blacksquare$

  1. Δείτε στο: Λυγάτσικας, Ζ., Κωνικές, εκδ. Liberal Books, 2013, σελίδα 256, ασκ. 197. ↩︎
  2. Την ίδια καμπύλη θα πάρουμε αν υπολογίσουμε την παράσταση: $p1\cdot x -p2\cdot y=0.$ ↩︎

  2026.03.01

• Limacon Pascal

  

  Δίδεται κύκλος $(O,R)$ και δύο σημεία T και A στην περιφέρεια του κύκλου. Το σημείo T παραμένει σταθερό, ενώ το A κινείται στην περιφέρειά του. Πάνω στην ευθεία TA παίρνω σημείο M έτσι ώστε η απόσταση $|\overline{AM}|=k$, $k\in R_{>0}$. Να βρεθεί η καμπύλη που διαγράφει το σημείο M όταν το A διαγράφει την περιφέρεια του κύκλου.

  Χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο κύκλος έχει εξίσωση.

  $$x^2+y^2=r^2,\quad r\in R_{>0},\quad A=(m,n),\quad M=(x,y)$$

  Τα πολυώνυμα υπολογισμού θα είναι τα εξής: $$\begin{array}{lcl}
  A\in (O,r),&p1:=&m^2+n^2-r^2\\
  M\in TA, &p2:=& y-b-\frac{b-n}{a-m}(x-a)\\
  \overline{AM}=k, &p3:=& (x-m)^2+(y-n)^2-k^2
  \end{array}$$

  Απαλείφουμε τις μεταβλητές $m, n$ από τη λίστα $\{p1,p2,p3\}$, με τη συνάρτηση $EliminationIdeal$ του Maple και θα πάρουμε ένα πολυώνυμο:

  $$\begin{array}{l}y^4a^2+x^4b^2+y^4b^2-2y^5b+3y^4x^2+3x^4y^2+y^6+2y^2a^2x^2+2x^2b^2y^2-2xy^4a-\\-4y^3bx^2-2y^4r^2-2y^4k^2+4r^2y^3b+4k^2y^3b-2b^2r^2y^2-2b^2k^2y^2+x^6+a^2x^4-2a^2x^2r^2-2x^4r^2+\\+4ax^3r^2 -2x^4k^2+a^2r^4+a^2k^4-2k^2a^2r^2+r^4x^2+k^4x^2-2k^2r^2x^2-2ar^4x-2ak^4x-2ax^5+\\+4ak^2r^2x-2r^2b^2x^2+2k^2b^2x^2- 2r^2b^2k^2+4yr^2bx^2+4yk^2bx^2+4yr^2bk^2+4y^2axk^2+4y^2axr^2+\\+r^4b^2+k^4b^2+y^2k^4+y^2r^4-2yr^4b-2yk^4b-4y^2x^2k^2-2y^2a^2r^2-\\- 2y^2r^2k^2+2y^2a^2k^2-4y^2x^2r^2-8yk^2bxa-2ybx^4-4x^3y^2a-2a^2x^2k^2+4ax^3k^2 \end{array}$$

  Αν εξειδικεύσουμε το πολυώνυμο με τιμές

  $$r:=4,\quad k:=2,\quad a:=0,\hbox{ και } b:=4$$

  θα μας δώσει δύο συνιστώσες: $$\underbrace{x^2+12-8y+y^2}_{\mathscr{L}_1}\cdot \underbrace{x^4+2x^2y^2-36x^2+32y-36y^2+y^4+192}_{\mathscr{L}_2}$$

  εκ των οποίων η δεύτερη είναι η καμπύλη του Pascal: $\mathscr{L}_1$ και η πρώτη, ένας κύκλος $\mathscr{L}_2$ όταν το σημείο A ταυτιστεί με το σημείο T.

  2026.02.28

• Αυτοματοποίηση Προσδιορισμού Γεωμετρικού Τόπου

  Η αυτοματοποίηση του προσδιορισμού γεωμετρικών τόπων είναι μία από τις πέντε βασικές προτεραιότητες ενός Συστήματος Δυναμικής Γεωμετρίας (Dynamic Geometry System), μαζί με τους δυναμικούς μετασχηματισμούς, τη μέτρηση, την ελεύθερη κίνηση και το ελεύθερο σύρσιμο με την αυτόματη προσαρμογή των υπολοίπων στοιχείων της κατασκευής. Δείτε: Gao XS. Automated geometry diagram construction and engineering geometry. Στο : Gao XS, Wang D, Yang L, editors. ADG 1998. Lecture notes in artificial intelligence, vol. 1669. Heidelberg: Springer; 1999. p. 232 – 57. παράγραφος 5.2.

  Το πρώτο βήμα για να κατανοήσει κανείς αυτή τη διαδικασία αυτοματοποίησης είναι να αντιστοιχίσει ένα γεωμετρικό αντικείμενο – τον γεωμετρικό τόπο – με ένα αλγεβρικό αντικείμενο – ένα σύνολο πολυωνυμικών εξισώσεων. Στην Αλγεβρική Γεωμετρία, αυτό επιτυγχάνεται μέσω του Θεωρήματος Nullstellensatz του Hilbert, στο οποίο θα αναφερθούμε συνοπτικά παρακάτω. Αν και η έννοια είναι αφηρημένη και απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, θεωρούμε ότι η παρουσίασή της παρέχει ένα θεωρητικό υπόβαθρο και ενισχύει την κατανόηση των διαδικασιών που ακολουθούν.

  Το δεύτερο βασικό εργαλείο είναι ο αλγόριθμος υπολογισμού βάσεων Groebner, ο οποίος, παρά τη θεωρητική του πολυπλοκότητα, αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο οικοδομείται η αλγεβρική προσέγγιση στον προσδιορισμό γεωμετρικών τόπων. Η εμβάθυνση στον αλγόριθμο αυτό υπερβαίνει τους στόχους του παρόντος βιβλίου, το οποίο επικεντρώνεται στις εφαρμογές και την πρακτική αξιοποίηση των συστημάτων Δυναμικής Γεωμετρίας. Για αυτόν τον λόγο παραπέμπουμε το ενδιαφερόμενο κοινό στην αντίστοιχη πανεπιστημιακή βιβλιογραφία.

  Αναπόφευκτα, η έννοια του γεωμετρικού τόπου αποκτά διαφορετικές ιδιότητες όταν περάσει από τη γεωμετρική στη συμβολική και αλγεβρική αναπαράσταση. Ενώ στη γεωμετρία ο τόπος ορίζεται ως ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν μια δεδομένη συνθήκη, στην αλγεβρική θεώρηση εντάσσεται σε ένα ευρύτερο πλαίσιο της Θεωρίας Κατηγοριών, όπου το αντικείμενο προσδιορίζεται από τα δεδομένα και τις σχέσεις οι οποίες το προσδιορίζουν και το ορίζουν μέσα στο μαθηματικό περιβάλλον. Στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία¹ και σε άλλους προχωρημένους κλάδους (π.χ. Τοπολογία), η γεωμετρία λειτουργεί όλο και περισσότερο μέσω κατηγοριών και όχι μόνο μέσω συνόλων, και οι κλασικές προ-συνολοθεωρητικές έννοιες των γεωμετρικών αντικειμένων εντάσσονται αρμονικά στο σύγχρονο πλαίσιο, χωρίς να τις ακυρώνει. Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος επαναπροσδιορίζεται πλέον όχι σαν μια απλή συλλογή μεμονωμένων σημείων που ικανοποιούν μια ιδιότητα – αλλά σαν αντικείμενο που προσδιορίζεται από τις καθολικές του ιδιότητες και τις σχέσεις του μέσα σε ένα νέο εννοιολογικό πλαίσιο.

  GeoCAS_2025

  Από τεχνικής απόψεως, θα πρέπει να σημειώσουμε έναν ουσιώδη περιορισμό, στην παρούσα εργασία: τα παραδείγματα που θα εξετάσουμε με τη νέα προσέγγιση δεν αφορούν γεωμετρικούς τόπους που εξαρτώνται από περισσότερους του ενός βαθμούς ελευθερίας. Δεν θα ασχοληθούμε με προβλήματα στα οποία συμμετέχουν δύο ή περισσότερα κινούμενα σημεία. Για παράδειγμα, δεν θα εξετάσουμε προβλήματα όπου ζητείται να προσδιοριστεί η καμπύλη στην οποία ανήκει το μέσο ευθυγράμμου τμήματος AB, όταν το σημείο A κινείται πάνω σε έναν κύκλο και το σημείο B πάνω σε μία έλλειψη. Τέτοιου είδους προβλήματα παραμένουν εκτός των δυνατοτήτων επεξεργασίας που διαθέτουν, προς το παρόν, τα συστήματα Δυναμικής Γεωμετρίας.

  Οι βιβλιογραφικές αναφορές για το αντικείμενο που θα παρουσιάσουμε είναι πολλές. Θα προτείνουμε μια βιβλιογραφική ενότητα, με έμφαση σε πηγές οι οποίες:

  • είναι προσιτές σε εκπαιδευτικούς και ερευνητές που ασχολούνται με συστήματα Δυναμικής Γεωμετρίας,
  • συνδέουν την αλγεβρική γεωμετρία και τις βάσεις Groebner με τη διδασκαλία,
  • περιλαμβάνουν αναφορές στο εργαλείο LocusEquation του GeoGebra.

  Μια ικανοποιητική επιλογή είναι η εξής:

  • Botana, F., & Valcarce, J. L. (2003). Automatic deduction in dynamic geometry using Groebner bases and reciprocation. Mechanics Research Communications, 30(6), 641-652.
    Μία από τις πρώτες εργασίες που συνδέουν τις βάσεις Groebner με συστήματα Δυναμικής Γεωμετρίας, προσφέροντας θεωρητικό υπόβαθρο.
  • Botana, F., & Abanades, M. A. (2015). Automatic discovery of theorems in dynamic geometry using the locus equation tool in GeoGebra. Computer Algebra in Mathematics Education, 2, 29 – 42.
    Ειδική αναφορά στην ενσωμάτωση του υπολογισμού γεωμετρικών τόπων στο GeoGebra μέσω της συνάρτησης LocusEquation.
  • Kortenkamp, U. (1999). Foundations of Dynamic Geometry. Ph.D. Thesis, ETH Z\”urich.
    Θεωρητική θεμελίωση των συστημάτων δυναμικής γεωμετρίας και των αρχών λειτουργίας τους.
  • Cox, D., Little, J., & O’Shea, D. (2015). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, (4th ed.). Springer.
    Κλασικό σύγγραμμα για την αλγεβρική γεωμετρία και τις βάσεις Groebner, κατάλληλο για όσους θέλουν να εμβαθύνουν.
  • Laborde, C., Bellemain, F., & Habboub, F. (2008). Dynamic geometry environments as microworlds for the learning and exploration of geometry and mathematics. In The Handbook of Mathematics Education Research (pp. 469 – 498).
    Ανάλυση των δυνατοτήτων των περιβαλλόντων δυναμικής γεωμετρίας στην εκπαιδευτική πράξη.
  • Hohenwarter, M., & Preiner, J. (2007). Dynamic mathematics with GeoGebra. Journal of Online Mathematics and Its Applications,} 7.
    Παρουσίαση των δυνατοτήτων του GeoGebra και τρόποι αξιοποίησής του στην εκπαιδευτική πράξη.

  

  1. Ένας κύκλος δεν ορίζεται μόνο σαν το σύνολο των σημείων $(x,y)$ έτσι ώστε $x^2+y^2=r^2$, αλλά ως το σχήμα (schema) $Spec\ \mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-r^2)$, του οποίου η δομή καθορίζεται από μορφισμούς προς άλλα αντικείμενα. ↩︎

  2026.01.18