Blog Μαθηματικών και Εκπαιδευτικών Θεμάτων

Η αυτοματοποίηση του προσδιορισμού γεωμετρικών τόπων είναι μία από τις πέντε βασικές προτεραιότητες ενός Συστήματος Δυναμικής Γεωμετρίας (Dynamic Geometry System), μαζί με τους δυναμικούς μετασχηματισμούς, τη μέτρηση, την ελεύθερη κίνηση και το ελεύθερο σύρσιμο με την αυτόματη προσαρμογή των υπολοίπων στοιχείων της κατασκευής. Δείτε: Gao XS. Automated geometry diagram construction and engineering geometry. Στο : Gao XS, Wang D, Yang L, editors. ADG 1998. Lecture notes in artificial intelligence, vol. 1669. Heidelberg: Springer; 1999. p. 232 – 57. παράγραφος 5.2.

Το πρώτο βήμα για να κατανοήσει κανείς αυτή τη διαδικασία αυτοματοποίησης είναι να αντιστοιχίσει ένα γεωμετρικό αντικείμενο – τον γεωμετρικό τόπο – με ένα αλγεβρικό αντικείμενο – ένα σύνολο πολυωνυμικών εξισώσεων. Στην Αλγεβρική Γεωμετρία, αυτό επιτυγχάνεται μέσω του Θεωρήματος Nullstellensatz του Hilbert, στο οποίο θα αναφερθούμε συνοπτικά παρακάτω. Αν και η έννοια είναι αφηρημένη και απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, θεωρούμε ότι η παρουσίασή της παρέχει ένα θεωρητικό υπόβαθρο και ενισχύει την κατανόηση των διαδικασιών που ακολουθούν.

Το δεύτερο βασικό εργαλείο είναι ο αλγόριθμος υπολογισμού βάσεων Groebner, ο οποίος, παρά τη θεωρητική του πολυπλοκότητα, αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο οικοδομείται η αλγεβρική προσέγγιση στον προσδιορισμό γεωμετρικών τόπων. Η εμβάθυνση στον αλγόριθμο αυτό υπερβαίνει τους στόχους του παρόντος βιβλίου, το οποίο επικεντρώνεται στις εφαρμογές και την πρακτική αξιοποίηση των συστημάτων Δυναμικής Γεωμετρίας. Για αυτόν τον λόγο παραπέμπουμε το ενδιαφερόμενο κοινό στην αντίστοιχη πανεπιστημιακή βιβλιογραφία.

Αναπόφευκτα, η έννοια του γεωμετρικού τόπου αποκτά διαφορετικές ιδιότητες όταν περάσει από τη γεωμετρική στη συμβολική και αλγεβρική αναπαράσταση. Ενώ στη γεωμετρία ο τόπος ορίζεται ως ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν μια δεδομένη συνθήκη, στην αλγεβρική θεώρηση εντάσσεται σε ένα ευρύτερο πλαίσιο της Θεωρίας Κατηγοριών, όπου το αντικείμενο προσδιορίζεται από τα δεδομένα και τις σχέσεις οι οποίες το προσδιορίζουν και το ορίζουν μέσα στο μαθηματικό περιβάλλον. Στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία¹ και σε άλλους προχωρημένους κλάδους (π.χ. Τοπολογία), η γεωμετρία λειτουργεί όλο και περισσότερο μέσω κατηγοριών και όχι μόνο μέσω συνόλων, και οι κλασικές προ-συνολοθεωρητικές έννοιες των γεωμετρικών αντικειμένων εντάσσονται αρμονικά στο σύγχρονο πλαίσιο, χωρίς να τις ακυρώνει. Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος επαναπροσδιορίζεται πλέον όχι σαν μια απλή συλλογή μεμονωμένων σημείων που ικανοποιούν μια ιδιότητα – αλλά σαν αντικείμενο που προσδιορίζεται από τις καθολικές του ιδιότητες και τις σχέσεις του μέσα σε ένα νέο εννοιολογικό πλαίσιο.

Από τεχνικής απόψεως, θα πρέπει να σημειώσουμε έναν ουσιώδη περιορισμό, στην παρούσα εργασία: τα παραδείγματα που θα εξετάσουμε με τη νέα προσέγγιση δεν αφορούν γεωμετρικούς τόπους που εξαρτώνται από περισσότερους του ενός βαθμούς ελευθερίας. Δεν θα ασχοληθούμε με προβλήματα στα οποία συμμετέχουν δύο ή περισσότερα κινούμενα σημεία. Για παράδειγμα, δεν θα εξετάσουμε προβλήματα όπου ζητείται να προσδιοριστεί η καμπύλη στην οποία ανήκει το μέσο ευθυγράμμου τμήματος AB, όταν το σημείο A κινείται πάνω σε έναν κύκλο και το σημείο B πάνω σε μία έλλειψη. Τέτοιου είδους προβλήματα παραμένουν εκτός των δυνατοτήτων επεξεργασίας που διαθέτουν, προς το παρόν, τα συστήματα Δυναμικής Γεωμετρίας.

Οι βιβλιογραφικές αναφορές για το αντικείμενο που θα παρουσιάσουμε είναι πολλές. Θα προτείνουμε μια βιβλιογραφική ενότητα, με έμφαση σε πηγές οι οποίες:

• είναι προσιτές σε εκπαιδευτικούς και ερευνητές που ασχολούνται με συστήματα Δυναμικής Γεωμετρίας,
• συνδέουν την αλγεβρική γεωμετρία και τις βάσεις Groebner με τη διδασκαλία,
• περιλαμβάνουν αναφορές στο εργαλείο LocusEquation του GeoGebra.

Μια ικανοποιητική επιλογή είναι η εξής:

• Botana, F., & Valcarce, J. L. (2003). Automatic deduction in dynamic geometry using Groebner bases and reciprocation. Mechanics Research Communications, 30(6), 641-652.
  Μία από τις πρώτες εργασίες που συνδέουν τις βάσεις Groebner με συστήματα Δυναμικής Γεωμετρίας, προσφέροντας θεωρητικό υπόβαθρο.
• Botana, F., & Abanades, M. A. (2015). Automatic discovery of theorems in dynamic geometry using the locus equation tool in GeoGebra. Computer Algebra in Mathematics Education, 2, 29 – 42.
  Ειδική αναφορά στην ενσωμάτωση του υπολογισμού γεωμετρικών τόπων στο GeoGebra μέσω της συνάρτησης LocusEquation.
• Kortenkamp, U. (1999). Foundations of Dynamic Geometry. Ph.D. Thesis, ETH Z\”urich.
  Θεωρητική θεμελίωση των συστημάτων δυναμικής γεωμετρίας και των αρχών λειτουργίας τους.
• Cox, D., Little, J., & O’Shea, D. (2015). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, (4th ed.). Springer.
  Κλασικό σύγγραμμα για την αλγεβρική γεωμετρία και τις βάσεις Groebner, κατάλληλο για όσους θέλουν να εμβαθύνουν.
• Laborde, C., Bellemain, F., & Habboub, F. (2008). Dynamic geometry environments as microworlds for the learning and exploration of geometry and mathematics. In The Handbook of Mathematics Education Research (pp. 469 – 498).
  Ανάλυση των δυνατοτήτων των περιβαλλόντων δυναμικής γεωμετρίας στην εκπαιδευτική πράξη.
• Hohenwarter, M., & Preiner, J. (2007). Dynamic mathematics with GeoGebra. Journal of Online Mathematics and Its Applications,} 7.
  Παρουσίαση των δυνατοτήτων του GeoGebra και τρόποι αξιοποίησής του στην εκπαιδευτική πράξη.

1. Ένας κύκλος δεν ορίζεται μόνο σαν το σύνολο των σημείων $(x,y)$ έτσι ώστε $x^2+y^2=r^2$, αλλά ως το σχήμα (schema) $Spec\ \mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-r^2)$, του οποίου η δομή καθορίζεται από μορφισμούς προς άλλα αντικείμενα. ↩︎