Blog Μαθηματικών και Εκπαιδευτικών Θεμάτων

1. Σταθερή Συνάρτηση

Μία συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και η πρώτη παράγωγος, $f’$, μηδενίζεται σε καθένα από τα διαστήματα $(-\infty, x_0),\ (x_0,+\infty).$ Μπορούμε να αποφανθούμε ότι η $f$ είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$?

Αν τα σημεία, για τα οποία δεν γνωρίζουμε ότι έχουν παράγωγο μηδέν, είναι $x_1, x_2,\dots,x_k$, μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο συμπέρασμα?

Υπόδειξη: Για $x<x_0$ έχουμε $f (x) = c_1,\hbox{ για } x < x_0,\ f (x) = c_2$, λόγω συνέχειας $f (x) = f (x_0) = c_1$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0^-} f (x) = f (x_0) = c_2}$, άρα $c_1= c_2 = f (x_0)$ και η $f$ είναι σταθερή.
Το ίδιο αποτέλεσμα αν στα σημεία $x_1, x_2,\dots,x_k$ δεν γνωρίζουμε ότι έχουν παράγωγο μηδέν.$\blacksquare$

2. Τιμή Παραμέτρου

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x)$ είναι οι πραγματικοί αριθμοί και ικανοποιεί τη συνθήκη $f(x+1)=2f(x)$.
Για $x\in(0,1]$ ο τύπος της συνάρτησης είναι $f(x)=x(x-1)$. Αν για $x\in(-\infty,m],\ f(x)\geq -\frac{8}{9}$ , η τιμή της παραμέτρου $m$ είναι:

1. 9/4
2. 7/3
3. 5/2
4. 8/3

Υπόδειξη: Από $f(x+1)=2f(x)$ βλέπουμε ότι η $f$ διπλασιάζει το ύψος όταν το $x$ κινηθεί στο $x+1$ (όπως $\sin(2\pi+x)=\sin(x)$). H συνάρτηση $f(x)$ είναι παραβολή η $x(x-1)$ στο διάστημα $(0,1]$. Το γράφημα στο $(1,2]$ έχει διπλάσιο ύψος με τύπο $f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)$, ομοίως στο $(2,3]$ έχει διπλάσιο ύψος με τύπο $f(x)=4(x-2)(x-3)$. Άρα, $f(x)\geq -\frac{8}{9} \Leftrightarrow x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right]\cup \left[\frac{8}{3},+\infty\right)$.

Συνεπώς αληθές είναι το Β.$\blacksquare$

3. Εμβαδόν Χωρίου

Η σκιασμένη περιοχή κάτω από το γράφημα της συνάρτησης $f(x)$ μεταξύ $x=1$ και $x=2$ έχει εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα. Τότε, η περιοχή κάτω από το γράφημα της συνάρτησης $y=2f(3-x)$ μεταξύ $x=1$ και $x=2$ έχει εμβαδόν:

1. 1 τ.μ
2. 2 τ.μ.
3. 3 τ.μ.
4. 6 τ.μ.

Υπόδειξη: Μας δίνει ότι $\int_1^2f(x)dx=1$. Ας θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα:

Θέτω $u=3-x$ τότε, $du=-dx$. Αν $x=1,\ u=3-1=2,$ αν $x=2$ τότε $u=3-2=1$.

Άρα, $\int_1^2 2f(3-x)dx=2\int_1^2f(x)dx=2$ τετραγωνικές μονάδες.$\blacksquare$

4. Άρτιο & Περιττό

Έστω $\Delta$ πραγματικό διάστημα συμμετρικό ως προς την αρχή $(0,0)$. Έστω επίσης η πραγματική συνάρτηση $f:\Delta \rightarrow \mathbb{R}$. Ορίζω τις συναρτήσεις:

Δείξτε ότι:

1. Η συνάρτηση $f_e(x)$ είναι άρτια και η συνάρτηση $f_c(x)$ περιττή. Η συνάρτηση $f_e$ λέγεται το άρτιο μέρος της $f$ και η $f_o$ το περιττό μέρος της $f$.
2. $\forall x\in\Delta,\ f(x)=f_e(x)+f_o(x)$.
3. Το άθροισμα της $f(x)$ είναι μοναδικό. Δηλαδή, αν υπάρχουν δυο άλλες συναρτήσεις G και H άρτια και περιττή αντίστοιχα στο $\Delta$ έτσι ώστε $\forall x\in\Delta$ να είναι $f(x)=G(x)+H(x)$, τότε και $\forall x\in\Delta,\ G(x)=f_e(x)$ και $H(x)=f_o(x)$.
4. Βρείτε και αναπαραστήστε (προφανώς με τη βοήθεια ενός λογισμικού) το άρτιο και το περιττό μέρος της $f(x)=e^x$.

Υπόδειξη: H άσκηση είναι εύκολη. Μόνο μια παρατήρηση στη d ερώτηση: Το άρτιο μέρος της $f$ είναι το υπερβολικό συνημίτονο (caternay) και το περιττό, το υπερβολικό ημίτονο

$\blacksquare$

5. Ολικό Μέγιστο σε διάστημα

Η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} xe^{-x} &,& x\neq 0\\ 3 &,& x=0\\ \end{array}\right .$δέχεται ολικό μέγιστο στο διάστημα $[-1,1]$?

Υπόδειξη: Ναι, είναι μια εφαρμογή του θεωρήματος μεγίστης και ελαχίστης τιμής του Weierstrass αλλά η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο $[-1,1]$. Πράγματι, $f(x)\rightarrow 0$ όταν $x\rightarrow 0$ αλλά $f(0)=3$. Έτσι, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε ευθέως το θεώρημα του Weierstrass. Πρόκειται λοιπόν να αναζητήσουμε το μέγιστο σε δύο συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς στο διάστημα.

Έστω $g(x)=xe^{-x}$ με $x\in[-1,1]$. Εφ’ όσον $g$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα, από το θεώρημα Weierstrass υπάρχει $c\in[-1,1]$ έτσι ώστε $g(x)<g(c)$, $\forall x\in[-1,1]$. Ειδικότερα $f(x)=g(x)\leq g(c),\ \forall x\in[-1,1]-{0}$. Έτσι, $f(x)\leq \max \big(g(c),3\big)$.
Παρατηρώ επίσης ότι, $g(c)=ce^{-c}\leq |c|e^{-c}\leq e\leq 3$
Συνεπώς $f(x)\leq \max \big(g(c),3\big)=3=f(0)$ και για $x_0=0$ έχουμε ολικό μέγιστο.$\blacksquare$

6. Αντίστροφο De l’ Hopital

Διατυπώστε τον κανόνα του De l’ Hopital για την περίπτωση 0/0. Ισχύει το αντίστροφο?

Υπόδειξη: To θεώρημα λέει: Αν $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0}$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0}$, $x_0\in\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\}$ και υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}{f'(x)\over g'(x)}}$ (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)\over g(x)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}{f'(x)\over g'(x)}}$.

Το δε αντίστροφο: Αν $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0}$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0}$, $x_0\in\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\}$ και υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)\over g(x)}}$ (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)\over g(x)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}{f'(x)\over g'(x)}}$ .

To αντίστροφο δεν ισχύει. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Έστω $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} x^2\cos(1/x)&,& x\neq 0\\ 0 &,& x=0\\ \end{array}\right .$και $g(x)=\sin(x)$. Τότε:

γιατί: $\lim_{x\rightarrow 0}\big(x\cos(1/x)\big)=0$ (φραγμένη συνάρτηση) και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1}$. Παρ’ όλα αυτά το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{f'(x)\over g'(x)}}$ δεν υπάρχει:

To $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\cos(x)=1}$ αλλά το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\Big(2x\cos(1/x)+\sin(1/x)\Big)}$ δεν υπάρχει αφού δεν υπάρχει το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\sin(x)}$.$\blacksquare$

7. Ανοικτό σε ανοικτό διάστημα

Αν $f$ μια συνεχή συνάρτηση και $I=(a,b)$ με $a<b\in\mathbb{R}$. Tότε το σύνολο $f(I)$ είναι ανοικτό διάστημα?

Γενικά όχι. Για παράδειγμα αν $I=(-1,1)$ και $f(x)=x^2$ τότε $f(I)=[0,1)$.$\blacksquare$

8. Ελάχιστο και μονοτονία

Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει ένα τοπικό ελάχιστο για $x=0$, τότε είναι αύξουσα δεξιά του 0?

Υπόδειξη: ΟΧΙ! Αντιπαράδειγμα η συνάρτηση¹

H συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη για $x\neq 0$ και $f'(0)=0$, $f'(x)=4x+2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$. Τα γραφήματα της $f$ καθώς και τo zoom στο 0 το βλέπετε στο Σχήμα 1.

Επειδή, $\forall x\neq 0$, $2+\sin(1/x)\geq 2-1=1$ και $x^2>0$, άρα, $f(x)\geq x^2>f(0)$ το οποίο δείχνει ότι η συνάρτηση δέχεται ένα τοπικό ελάχιστο.

Η συνάρτηση δεξιά και αριστερά του 0 δεν είναι ούτε αύξουσα ούτε φθίνουσα. Πράγματι:
Αν ορίσουμε δύο ακολουθίες $a_n=\displaystyle{\frac{1}{n\pi +\pi/3}}$ και $\displaystyle{b_n=\frac{1}{n\pi}}$, οι οποίες τείνουν στο 0 για $n\rightarrow +\infty$, μπορούμε να βρούμε (!???) έναν ακέραιο $Ν\geq 1$ έτσι ώστε $\forall n\geq N$, σε κάθε διάστημα $[a_n,b_n]$ η $f$ είναι γνησίως αύξουσα ($f'(x)>0$) αν $n$ περιττός, ενώ αν $n$ άρτιος η f είναι γνησίως φθίνουσα, ($f'(x)<0$) στo διάστημα $[a_n,b_n]$. Με άλλα λόγια, η $f$ δεν είναι αύξουσα δεξιά του 0. Με άλλα λόγια αν $x<y<z\in D_f$ τότε το $f(y)$ μπορεί να είναι και ανάμεσα των $f(x)$ και $f(z)$ αλλά και όχι.$\blacksquare$

9. ΘΕΤ και Άθροισμα

Αν δύο συναρτήσεις ικανοποιούν το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, τότε και το άθροισμά τους ικανοποιεί το θεώρημα?

Υπόδειξη: ΟΧΙ! Αντιπαράδειγμα. Έστω οι συναρτήσεις:

και

Τότε, αν και οι συναρτήσεις ικανοποιούν το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών το άθροισμά τους

δεν ικανοποιεί το θεώρημα. Πράγματι: ας επιλέξουμε έναν πραγματικό $a\in\mathbb{R}-{0}$. Tότε: $\Big[(f+g)(0),(f+g)(a)\Big]=[0,2]$. Αν $b\in\mathbb{R}$ και $0<b<2$, $\nexists \xi\in \mathbb{R}:\ f(\xi)=b$. Άρα, η $f+g$ δεν ικανοποιεί το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών.$\blacksquare$

10. Άσκηση Λογικής

Έστω η πρόταση $P(x,y):=x^2-xy-1=0,\ x,y\in\mathbb{R}$. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής:

1. $\forall y\exists xP(x,y)$
2. $\forall x\exists yP(x,y)$
3. $\exists x\forall yP(x,y)$
4. $\forall y \forall x P(x,y)$

Υπόδειξη: H διακρίνουσα του πολυωνύμου $x^2-xy-1$ ως προς $x$ είναι $y^2+4>0$, $\forall y\in\mathbb{R}$. Άρα, σωστό το Α και Γ. $\blacksquare$

11. Προσθέτοντας ένα απειροστό

Έστω $p(x)=(x-3)^2(x-1)^3(x+2)^2(x+3)^2$. Αν $\varepsilon$ είναι ένας πολύ μικρός θετικός αριθμός, πόσες διαφορετικές πραγματικές ρίζες έχει το πολυώνυμο $q(x)=p(x)+\varepsilon$ ?

Υπόδειξη: Εξηγήστε στο γράφημα την ποιότητα των ριζών του γραφήματος $\mathscr{G}_p$. Πριν αρχίσουμε τη μελέτη πρέπει να δούμε που το γράφημα είναι πάνω ή κάτω από τον άξονα. Από το πρόσημο του $p(x)$ βλέπουμε ότι για $x<1$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα, ενώ για $x>1$ πάνω. Η κατάσταση αυτή απεικονίζεται και στο γράφημα.

Οι ρίζες $-3$ και $-2$ είναι διπλές. Άρα, το γράφημα εκεί εφάπτεται στον άξονα $x’x$. Επομένως μια απειροστή διαταραχή του γραφήματος προς τα πάνω πρέπει να γεννά $2+2=4$ επιπλέον ρίζες αφού το γράφημα είναι όλο κάτω από τον άξονα. Επίσης, η ρίζα 3 είναι διπλή αλλά το γράφημα εκεί είναι πάνω από το άξονα των $x’x$. Επομένως η απειροστή αλλαγή δεν προσθέτει ρίζα. Τελικά, η $p(x)+\epsilon =0$ έχει 5 πραγματικές ρίζες.$\blacksquare$

12. Μία συνάρτηση Cauchy

Υποθέστε ότι η συνάρτηση $f(x)$ ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $f(x)>0$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Επίσης, $f(a)f(b)=f(a+b)$, $\forall a,b\in\mathbb{R}$. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι αληθείς?

1. $f(0)=1$
2. $f(a)=\sqrt[3]{f(3a)},\ \forall a\in\mathbb{R}$
3. $f(-a)=\displaystyle{1\over f(a)},\ \forall a\in\mathbb{R}$
4. $f(b)>f(a)$ αν $b>a.$

1. III και IV μόνο
2. Ι, ΙΙΙ και IV
3. Ι, ΙΙ και IV μόνο
4. Ι, ΙΙ και III μόνο

Υπόδειξη: Αν θέσω $a=0$ στην εξίσωση $f(a)f(b)=f(a+b)$ θα πάρω $f(0)f(b)=f(0+b)=f(b)$ ή $f(0)=1$ . Θέτoντας επίσης $b:=-a$ στην εξίσωση $f(a)f(b)=f(a+b)$ θα πάρω $f(a)f(-a)=f(0)\Rightarrow f(-a)=\displaystyle{1\over f(a)}$ .

H συνάρτηση $f(x)=1$ ικανοποιεί την εξίσωση καθώς και τις συνθήκες Ι, ΙΙ και ΙΙΙ αλλά όχι τη συνθήκη IV. Σωστό το D. $\blacksquare$

13. Συναρτησιακή Εξίσωση 1

Mια συνάρτηση $f$ δεν ορίζεται για $x=0$ αλλά, για κάθε μη μηδενικό πραγματικό $x$ ισχύει:

Η εξίσωση $f(x)=f(-x)$ ικανοποιείται από:

1. Ακριβώς έναν πραγματικό αριθμό.
2. Ακριβώς δυο πραγματικούς αριθμούς.
3. Κανένα πραγματικό αριθμό.
4. Άπειρα αλλά όχι όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του $\mathbb{R}$.
5. Όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του $\mathbb{R}.$

Υπόδειξη: Αντικαθιστώντας το $\displaystyle{x:={1\over x}}$ έχω τις δύο εξισώσεις:

Απαλείφοντας το $\displaystyle{f\left({1\over x}\right)}$ από τις 2 εξισώσεις, θα πάρω $f(x)=\displaystyle{{2-x^2\over x}}$. Τότε $f(-x)=f(x)$ αν και μόνο αν:

Σωστό το Β. $\blacksquare$

14. Υπολογισμός πλήθους ριζών

Μια συνάρτηση $f$ ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς και ικανοποιεί:

Αν $f(0)=0$, ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των ριζών της $f(x)=0$ στο διάστημα $[-1000,1000]$.

Υπόδειξη: To πρώτο πράγμα που μπορούμε να κάνουμε είναι να βρούμε για ποιες τιμές του Πεδίου Ορισμού η συνάρτηση έχει τις ίδιες τιμές.

και

Από (1) και (2) έχουμε: $f(x)=f(x+10)\quad (3)$. Αντικαθιστώντας $x:=x+10$ στην (3), έχω:

Tότε:

κ.ο.κ. Tελικά:

εφ’ όσον $f(0)=0$ τότε:

Άρα, η $f(x)=0$ έχει τουλάχιστον 201 ρίζες στο [-1000,1000].

Επίσης, για $x=0$ η εξίσωση (1) γίνεται $f(4)=f(0)=0$. Επίσης, για $x=4$ η (4) γίνεται

Tώρα, αν δεν μπορείτε να υπολογίσετε αμέσως το πλήθος των νέων ριζών, φανταστείτε τη νέα αυτή σειρά σαν μια αριθμητική πρόοδο με $a_1=-996$, $a_n=994$ και $\omega =10$. Άρα, $a_n=a_1+(n-1)\omega$ ή $994 = -996 +10(n-1)\Rightarrow n=200$.

Επομένως, έχουμε 201+200=401 ρίζες. Η δε γραφική παράσταση της συνάρτησης μπορεί να είναι:

$\blacksquare$

15. $f^{-1}=\frac{1}{f}$

Το θέμα είναι αν υπάρχει πραγματική² συνάρτηση τέτοια ώστε $f^{-1}=\frac{1}{f}$.

Υποθέστε ότι η συνάρτηση $f$ είναι μια πραγματική συνάρτηση με τις εξής δύο ιδιότητες:
1) $D_f=A$ είναι το μεγαλύτερο σύνολο όπου ορίζονται οι συναρτήσεις $f,\ f^{-1},\ \displaystyle{1\over f}$ και η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και 2) η αντίστροφη $f^{-1}$ ικανοποιεί την ιδιότητα:

Τότε:

1. Δείξτε ότι το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού $D_f$ και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
2. Δείξτε ότι $(\alpha,\beta)$ ανήκει στο γράφημα $\mathscr{G}_f$ της συνάρτησης αν και μόνο αν ανήκουν επίσης στο γράφημα $\mathscr{G}_f$ και τα $\left(\beta,\displaystyle{1\over \alpha}\right)$, $\left(\displaystyle{1\over \alpha},\displaystyle{1\over \beta}\right)$, $\left(\displaystyle{1\over \beta},\alpha\right)$.
3. Μπορεί να υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση στο σύνολο των ακεραίων? Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
4. Δείξτε ότι $\Big(f\circ f\Big)(x)=\displaystyle{1\over x}$, $f\Bigg(\displaystyle{1\over f(x)}\Bigg)=x$, $f\Big(\displaystyle{1\over x}\Big)=\displaystyle{1\over f(x)}$ και $\Big(f\circ f\circ f\circ f\Big)(x) = x$, για κάθε $x$ στο A.
5. Έστω η συνάρτηση

$$h(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -x &\text{ αν } & x>0 \\ -\displaystyle{\frac{1}{x}} &\text{ αν } & x <0 \end{array}\right .$$

Δείξτε ότι η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί την ζητούμενη σχέση: $f^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{f}}$.

6. Βρείτε ακόμα ένα παράδειγμα, μη τετριμμένο, που να ικανοποιεί τη σχέση $f^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{f}}$. Δικαιολογείστε την επιλογή σας.$\blacksquare$

1. Η παρατήρηση ότι δεν υπάρχει μονοτονία με την συγκεκριμένη συνάρτηση έχει γίνει και από τις οδηγίες του ΥΠΕΘ – 2017. Συγκεκριμένα προτάθηκε η συνάρτηση $f(x)=\frac{1}{x^2}\Big(\sin\frac{1}{x}+2\Big)$ σαν παράδειγμα μη ύπαρξης μονοτονίας. ↩︎
2. H άσκηση έχει μια ενδιαφέρουσα για μένα ιστορία, από απόψεως διδακτικής, στο μέχρι που μπορεί να φτάσουν οι καλοί μαθητές (γιατί υπάρχουν και κακοί μαθητές). Μια μέρα έκανα μάθημα στη Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού σχετικά με τον ορισμό των πράξεων μεταξύ συναρτήσεων, στην αρχή της σχολικής χρονιάς. Όπως συνήθως αρχίσαμε συζήτηση πάνω σε διάφορα θέματα που αφορούσαν το αντικείμενο και κάποιος μαθητής μου έθεσε αυτό το ερώτημα, αν υπάρχει δηλαδή τέτοια συνάρτηση. Για καλή μου τύχη 2 εβδομάδες πριν, έτυχε να διαβάσω το άρθρο των: R. Cheng, A. Dasgupta, B. R. Ebanks, L. F. Kinch, L. M. Larson and R. B. McFadden, When Does f -1 = 1/f?, στο The American Mathematical Monthly, Vol. 105, No. 8 (Oct., 1998), pp. 704-717, και γνώριζα την ύπαρξή τους. Τους υποσχέθηκα ότι στη πρώτη γραπτή δοκιμασία θα είχαμε τρίτο θέμα την ύπαρξη μιας τέτοιας συνάρτησης. Το θέμα 3ο ήταν λοιπόν αυτό που παραθέτω. Μπορείτε να δείτε στο video: ↩︎