Αλγοριθμικές παραδοχές στο θεώρημα Bolzano – Προσέγγιση Ριζών Πολυωνύμου – Blog Μαθηματικών και Εκπαιδευτικών Θεμάτων

9 Απριλίου 2026

Ι. Εισαγωγή

Κατά τη μελέτη των μαθηματικών στο σχολείο αφιερώνεται πολύς χρόνος στην επίλυση εξισώσεων και συστημάτων εξισώσεων. Η μελέτη επίλυσης είναι σταδιακή, εξισώσεις 1ου βαθμού για την πρωτοβάθμια εκπ/ση, εξισώσεις 2ου βαθμού και εξισώσεις γενικά που ανάγονται σε δευτέρου βαθμού για την δευτεροβάθμια και 3ου βαθμού και άνω για την τριτοβάθμια. Επίσης, ο μαθητής στην δευτεροβάθμια εκπ/ση εξοικειώνεται με τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις.

Δεν είναι τυχαίο που δίνεται τόση προσοχή στην επίλυση εξισώσεων. Ο λόγος είναι η σημασία των εξισώσεων στις πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών. Σε όποιο πεδίο εφαρμογής και αν επιλέξετε, θα πρέπει να λύσετε εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων για να καταλήξουν στην τελική απάντηση. Αλλά και στο σχολείο, οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας. Για παράδειγμα:

Παραδειγμα:

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ευθ. τμήμα $AB$ μήκους $a$. Το πρόβλημα της εύρεσης σημείου $\Gamma$ στο εσωτερικό του $AB$ έτσι ώστε να χωρίζει το $AB$ σε μέσο και άκρο λόγο, είναι ένα πρόβλημα που ανάγεται σε όλα σχεδόν τα εγχειρίδια της γεωμετρίας στην επίλυση μιας εξίσωσης. Αν $A\Gamma = x < a$
τότε η σχέση μέσου και άκρου λόγου μας δίνει την εξίσωση:
$$\displaystyle{\frac{AB}{A\Gamma}=\frac{A\Gamma}{AB-A\Gamma}\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{x}{a-x}\Leftrightarrow x^2+a\cdot x-a^2=0}$$
η λύση της οποίας μας δίνει τη θέση του σημείου $\Gamma$ στο εσωτερικό του $AB$. $\square$
Πολλά προβλήματα της Φυσικής επίσης ανάγονται στην εξίσωση μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα:

Ζητάμε να υπολογίσουμε το βάθος ενός πηγαδιού. Για να το πετύχουμε κάνουμε το εξής: ρίχνουμε μια πέτρα και μετράμε τον χρόνο $t \sec$ από τη στιγμή που φεύγει από τα χέρια μας (η πέτρα) έως να φτάσει ο ήχος της πέτρας που χτυπά στην επιφάνεια του νερού. Να γράψετε ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος. Αν συμβολίσουμε με $x$ το βάθος του πηγαδιού, τότε η πέτρα θα διανύσει το βάθος του πηγαδιού σε χρόνο $t_1 =\sqrt{\frac{2x}{g}}$ και ο ήχος της πτώσης της πέτρας στο νερό θα κάνει $t_2 =\frac{x}{v}$ δευτερόλεπτα να επιστρέψει στην επιφάνεια, όπου $v$ είναι η ταχύτητα του ήχου. ‘Αρα, ο χρόνος $t$ που μετρήσαμε είναι το άθροισμα $$t=t_1+t_2=\sqrt{\frac{2x}{g}}+\frac{x}{v}$$
Για να βρούμε λοιπόν το $x$, σύμφωνα με τα εγχειρίδια της ‘Αλγεβρας, θα αντικαταστήσουμε $y := \sqrt{x}$ και θα αναγάγουμε την εξίσωση στην δευτεροβάθμια εξίσωση:
$$y^2\cdot \frac{1}{2}+y\cdot \sqrt{\frac{2}{g}}-t=0$$
Ωστόσο στη φυσική έχουμε προβλήματα που καταλήγουν σε πολύπλοκες εξισώσεις των οποίων η λύση δεν μπορεί να βρεθεί ούτε στα σχολικά αλλά ούτε και στα πανεπιστημιακά μαθηματικά, με την ευκολία που λύσαμε την δευτροβάθμια εξίσωση. Για παράδειγμα: Πάρτε μια σιδερένια μπάρα σταθεροποιήστε τα δύο άκρα της και χτυπήστε την μπάρα. Τότε παράγονται εγκάρσιες ταλαντώσεις των οποίων η συχνότητα $x$ δίνεται από την εξίσωση:

\begin{equation}
e^x+e^{-x}=\frac{2}{\cos(x)},\ e=2.718\dots\quad (1.1)
\end{equation}

Στο σχολείο δεν δίνονται κανόνες για τη λύση τέτοιων πολύπλοκων εξισώσεων. Μην νομίζετε ότι αυτό οφείλεται στη φιλοσοφία του σχολικού προγράμματος των μαθηματικών! Δεν υπάρχει καθόλου τύπος για τη λύση της παραπάνω εξίσωσης με την έννοια που συνήθως αυτή γίνεται αποδεκτή στην βασική εκπαίδευση. Ας δούμε όμως ακριβέστερα αυτή τη τελευταία διαπύστωση. $\square$

Λέμε ότι μια εξίσωση $f(x) = 0$ έχει λύση που δίνεται από έναν τύπο, αν αυτή μπορεί να εκφραστεί σε όρους των συντελεστών της εξίσωσης με τη βοήθεια αλγεβρικών τελεστών, ρίζες, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Έτσι για παράδειγμα, είδαμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση $ax^2 + bx + c = 0,\ a\neq 0$
έχει ρίζες
$$x_{1,2}=\displaystyle{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$
Τέτοιους τύπους ριζών μπορούμε να βρούμε και σε εξισώσεις 3ου βαθμού, $ax^3+bx^2+cx+d=0,\ a\neq 0$. Αντικαθιστώντας το $x := y – \frac{b}{3a}$ η εξίσωση ανάγεται στη μορφή $x^3 + px + q = 0$ με ρίζα:
$$\displaystyle{x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$$
Ο τελευταίος τύπος απαιτεί χρήση μιγαδικών αριθμών. Η κατάσταση για τις εξισώσεις βαθμού 4ου βαθμού είναι πολύπλοκη, δεν θα ασχοληθούμε, αλλά για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλυτέρου του 5ου δεν υπάρχει τύπος που να δίνει τις ρίζες της εξίσωσης
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0=0,\ a_n\neq 0,\ n\leq5$$
Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα της θεωρίας του Abel το 1826.

Σήμερα, έχουμε αλγεβρικούς αλγορίθμους που μπορούμε να βρούμε όλες τις ρίζες πολυωνύμων οποιουδήποτε βαθμού. Οι αλγόριθμοι αυτοί είναι γενικευμένοι, μπορούν να εφαρμοσθούν σε οποιοδήποτε κλειστό σώμα αρχιμήδειο ή όχι. Για λόγους πολυπλοκότητας και αποτελεσματικότητας χρησιμοποιούμε συνδυασμούς αλγεβρικού και προσεγγιστικού υπολογισμού ανα περίπτωση. Άλλωστε, Αλγεβρικοί υπολογισμοί δεν μπορεί να λύσουν εξισώσεις της μορφής (1.1). Στις περιπτώσεις αυτές προσεγγίζουμε τη ρίζα με τις μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης.

ΙΙ. Η μέθοδος των Διαδοχικών Προσεγγίσεων

Οι περισσότερες μέθοδοι προσεγγιστικών λύσεων εξισώσεων βασίζονται στην ιδέα των διαδοχικών προσεγγίσεων. Αυτή η ιδέα χρησιμοποιείται όχι μόνο για την επίλυση εξισώσεων, αλλά και για την επίλυση ορισμένων πρακτικών προβλημάτων. Για να δώσουμε έναν γρήγορο χαρακτηρισμό θα λέγαμε ότι πρόκειται για μια μέθοδο δοκιμής και λάθους. Χρησιμοποιείται επίσης στο στρατό από τους πυροβολητές. Προκειμένου να χτυπήσουν έναν στόχο Α, βάζουν την κλίμακα του αζιμουθίου σε ένα στόχο Β πλησίον του Α και πυροβολούν. Εάν ο στόχος Α χαθεί κερδίσαν αν όχι ρυθμίζουν τη κλίμακα του αζιμουθίου και του σκοπευτικού σύμφωνα με την παρατηρούμενη θέση της έκρηξης του οβίδας και εκτοξεύεται η επόμενη. Μετά από πολλές προσεγγίσεις μπορούν να ρυθμίσουν την κλίμακα του αζιμουθίου έτσι ώστε να χτυπήσουν τον στόχο Α. Το πυροβολικό, στις μέρες μου, δεν ήταν και πολύ αξιόπιστο όπλο!

Για να δούμε το πρώτο παράδειγμα από την αρχαιότητα. Πρόκειται για το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας.

Παράδοξο του Ζήνωνα

Το παράδοξο διατυπώθηκε από τον Ζήνωνα τον Ελεάτη το 500 π.Χ. Με το παράδοξο αυτό ο Ζήνων καταλήγει στο ότι η κίνηση είναι αδύνατη, πράγμα αδύνατο. Λέει το εξής: Ο Αχιλλέας και η χελώνα έχουν μια απόσταση 1000 μέτρων, η χελώνα είναι πιο μπροστά από τον Αχιλλέα. Ο Αχιλλέας σε 1 δευτερόλεπτο διανύει 10 μέτρα και η χελώνα στον ίδιο χρόνο διανύει 1 μέτρο. Σε 100 δευτερόλεπτα ο Αχιλλέας θα διανύσει 1000 μέτρα αλλά η χελώνα θα είναι μπροστά 100 μέτρα. Σε 10 δευτερόλεπτα ο Αχιλλέας θα διανύσει 100 μέτρα ενώ η χελώνα πάλι θα είναι μπροστά 10 μέτρα κ.ο.κ. Με αυτή τη
συλλογιστική ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.

Κάθε μαθητής χωρίς δυσκολία μπορεί να υπολογίσει τον χρόνο που θα κάνει ο Αχιλλέας για να φτάσει τη χελώνα. Αν υποθέσουμε ότι ο χρόνος αυτός είναι $x$ sec, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τον χρόνο αυτόν λύνοντας την παρακάτω εξίσωση:
$$10\cdot x-x=1000\Leftrightarrow x=\frac{1000}{9}=111\frac{1}{9}\sec$$
Ωστόσο μπορούμε να δούμε τη παραδοξότητα του Ζήνωνα αν προσεγγίσουμε τη λύση αυτής της εξίσωσης. Διαιρούμε κατά μέλη την προηγούμενη εξίσωση με 10:
\begin{equation}
x=100+\frac{x}{10}\qquad (2.1) \end{equation}
Ο όρος $\displaystyle{\frac{x}{10}}$ στην εξίσωση (2.1) είναι μικρός σχετικά με τον $x$ και θα μπορούσαμε να δώσουμε σαν μια πρώτη προσέγγιση της λύσης $x_1 = 100$. Αντικαθιστούμε $x := x_1$ στην εξίσωση (2.1), θα πάρουμε $x_2 = 100+10 =
110$. Συνεχίζοντας:
$$\begin{array}{lcl} x_3&=&100+\displaystyle{\frac{x_2}{10}=100+11=111},\\ x_4&=&100+\displaystyle{\frac{x_3}{10}=100+11.1=111.1},\ \dots ,\\ x_n&=&111.1111\dots \end{array}$$
Γενικά, μπορούμε να γράψουμε την ακολουθία των διαδοχικών προσεγγίσεων:
$$x_{n+1}=100+\frac{x_n}{10},\ x_0=100$$
Καθώς λοιπόν το $n$ αυξάνεται η προσεγγιστική ρίζα ταυτίζεται με αυτήν που βρήκαμε λύνοντας την αλγεβρική εξίσωση: $$x\mapsto 111\frac{1}{9}$$
Άρα, η επιλογή που κάναμε στην αρχή είναι επιτυχής γιατί ο όρος $\displaystyle{\frac{x}{10}}$ είναι σχετικά μικρότερος σε σύγκριση με τον $x$. Αν δεν έχουμε αυτή την εκτίμηση από την αρχή, η μέθοδος της προσέγγισής μας δεν είναι αποτελεσματική. Ας δούμε το επόμενο παράδειγμα.

Θεωρείστε στο προηγούμενο παράδοξο ότι στη θέση της χελώνας έχουμε μια αντιλόπη η οποία σε 1 δευτερόλεπτο διανύει 30 μέτρα. Ας υποθέσουμε επίσης ότι η απόσταση του Αχιλλέα – αντιλόπη είναι 1000 μέτρα. Σύμφωνα με το προηγούμενο, αν $x$ είναι ο χρόνος μέσα στον οποίο o Αχιλλέας θα φτάσει την αντιλόπη, θα δίνεται από την εξίσωση
\begin{equation}
10x-30x=1000\qquad (2.2)
\end{equation}
Η λύση της εξίσωσης είναι $x =-50$. Το οποίο σημαίνει ότι ο Αχιλλέας έφτασε την αντιλόπη πριν 50 δευτερόλεπτα(!) αλλά τώρα η αντιλόπη κερδίζει έδαφος χρόνο με τον χρόνο. Αν προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση (2.2) με προσέγγιση θα μεταφέρουμε το $30x$ στο δεύτερο μέλος και θα διαιρέσουμε με 10.
\begin{equation}
x=100+30x\qquad (2.3)
\end{equation}
Θέτουμε $x_0 = 0$ και θα πάρουμε την ακολουθία λύσεων:
$$x_0 = 0,\ x_1 = 100,\ x_2 = 400,\ x_3 = 1300,\ x_4 = 4000, . . .$$
Προφανώς όλες αυτές οι τιμές δεν προσεγγίζουν την τιμή $x = -50$ που είναι ρίζα της εξίσωσης (2.2). $\blacksquare$

III. Εύρεση του αριθμού των πραγματικών ριζών Πολυωνυμικής Εξίσωσης

Το Θ. του Bolzano και το Θ. Ενδιαμέσων Τιμών

Με τo Θεώρημα του Bolzano και με το Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών, γενικότερα, μπορούμε να έχουμε μια πρώτη εικόνα της διαδικασίας της προσέγγισης ενός μαθηματικού αντικειμένου. Ωστόσο, δεν πρέπει να παραβλέψουμε τη γεωμετρική προέκταση και ενόραση του θεωρήματος, που είναι απλή και κατανοητή, όπως και στο ολοκλήρωμα Riemann αργότερα, και είναι καλό να την εκμεταλλευτείτε στο μαθηματικό σας curricullum.

Με το θεώρημα αυτό μπορούμε να θίξουμε μια πλευρά του θεμελιώδους χαρακτηριστικού της Ανάλυσης που είναι η προσέγγιση, ενώ η ‘Αλγεβρα θα χρειαστεί το θεώρημα για να προσδιορίσει κυρίως τον αριθμό των πραγματικών ριζών μιας εξίσωσης. Το θεώρημα καταλήγει σε έναν αλγόριθμο που από μόνος του είναι αδύναμος και αναποτελεσματικός σε πολλές δύσκολες περιπτώσεις.

Σήμερα διαθέτουμε ισχυρότατους και αποτελεσματικότερους αλγεβρικούς αλγορίθμους που βρίσκουν τις πραγματικές ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων¹, ωστόσο η τοπολογική σχέση μεταξύ εναλλαγής προσήμων και αριθμού ριζών παραμένει στο προσκήνιο.

Το θεώρημα δινόταν στην αρχή γραφικά, χωρίς αυστηρή απόδειξη. Η πρώτη απόπειρα απόδειξης έγινε από τον Bolzano και από τότε φέρει το όνομά του.

Θεώρημα Bolzano: Έστω συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[a,b ]$. Αν
1) η $f$ είναι συνεχής στο $[a,b ]$ και ισχύει
2) $f(a)\cdot f(b )<0$
τότε υπάρχει, ένα τουλάχιστον, $\xi\in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=0$.

Ας υποθέσουμε ότι $f(a )<0$ και $f(b )>0$. Θα δούμε τώρα πως καταλαβαίνει τη ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0$ η ανάλυση.
H τιμή του $\xi$ θα είναι το supremum του συνόλου $$X={x\in[a ,b ]/f(x)<0}$$ Πράγματι, από το θεώρημα πληρότητας στο σώμα $\mathbb{R}$, το σύνολο $X$ είναι μη μηδενικό, αφού $a\in X$, και είναι επίσης φραγμένο από τον αριθμό $b$. Άρα έχει ένα supremum, έστω το $\xi=\sup\ X$. Τότε $a <\xi< b$. Η απόδειξη επικεντρώνεται στο να δείξει ότι $f(\xi )=0$. Φυσικά δεν είναι κατασκευαστική απόδειξη! Δεν κατασκευάζει ένα τέτοιο $\xi$. $\blacksquare$

To παρακάτω θεώρημα λέει ακριβώς το ίδιο αλλά θα μας είναι χρησιμότερο:

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: Έστω μια συνάρτηση $f$, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[a, b]$. Αν:
1) η $f$ είναι συνεχής στο $[a,b ]$ και
2) $f(a )\not = f(b )$,
τότε για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(a )$ και $f(b )$ υπάρχει $x_0\in (a, b )$ τέτοιο ώστε: $f(x_0)=\eta$.

Η απόδειξη του θεωρήματος είναι κατασκευαστική. Για τον λόγο αυτό είναι ενδιαφέρουσα. Θα χρησιμοποιήσουμε το επιχείρημα της διχοτομίας διαστήματος. Ας υποθέσουμε ότι $f$ είναι μια συνάρτηση συνεχής στο $[a,b ]$ με $f(a )<f(b )$ (ομοίως αν $f(a)>f(b)$). Κατασκευάζω δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών $a_n$ και $b_n$ ως εξής:
Έστω $x_1$ το μέσο του διαστήματος $[a,b ]$.

Αν $f(x_1)<\eta$, τότε θέτω $a_1=x_1$ και $b_1=b_0=b$.

Αν $f(x_1)\geq \eta$, τότε θέτω $a_1=a_0=a$ και $b_1=x_1$.

Και στις δύο περιπτώσεις $f(a_1)\leq \eta \leq f(b_1)$ με $b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$. Αν $f(a_1)=\eta$ ή $f(b_1)=\eta$ σταματάμε, βρήκαμε το $x_0$ του θεωρήματος, αλλοιώς συνεχίζουμε τη διαδικασία επαναλαμβάνοντας το ίδιο μοτίβο με $x_2$ το μέσο του $[a_1,b_1]$.

1) Αν $f(x_2)<\eta$, τότε θέτω $a_2=x_2$ και $b_2=b_1$.
2) Αν $f(x_2)\geq \eta$, τότε θέτω $a_2=a_1$ και $b_2=x_2$.

Και στις δύο περιπτώσεις $f(a_2)\leq \eta \leq f(b_2)$ με $b_2-a_2=\frac{b-a}{4}$. Αν $f(a_2)=\eta$ ή $f(b_2)=\eta$ σταματάμε, βρήκαμε το $x_0$ του θεωρήματος, αλλοιώς συνεχίζουμε τη διαδικασία επαναλαμβάνοντας το ίδιο μοτίβο με $x_3$ το μέσο του $[a_2,b_2]$ κ.ο.κ.

Συνεχίζοντας τη διαδικασία θα πάρουμε μια ακολουθία διαστημάτων $$[a_0,b_0]\supset [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \dots$$ με $b_n-a_n=\frac{b-a }{2^n}$ και δύο ακολουθίες $a_n$ και $b_n$ οι οποίες για $n\rightarrow +\infty$ τείνουν στον ίδιο αριθμό $x_0$. Βρήκαμε λοιπόν τον αριθμό $x_0$ έτσι ώστε $f(x_0)=\eta$. Το παραπάνω διάγραμμα δείχνει παραστατικά τη διαδικασία.$\blacksquare$

Το γεγονός ότι η απόδειξη του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών μοιάζει με την απόδειξη που γίνεται με το supremum του συνόλου $\{x:f(x)<\eta\}$ είναι μια ένδειξη για το ότι όλες οι γνωστές αποδείξεις του θεωρήματος είναι τελικά βασισμένες στην ίδια και απλή διαισθητική ιδέα της προσέγγισης. Επομένως το σημαντικό είναι το πώς υπολογίζω τη ρίζα και όχι η τοπολογική αλλαγή προσήμου. Είναι ένα θεώρημα της Ανάλυσης και όχι της Τοπολογίας και έτσι πρέπει να προσεγγίζεται.

Είναι σημαντικό εδώ να δούμε πως παρουσίασαν τις αποδείξεις κυρίως δύο πρωτοπόροι της Ανάλυσης, οι Bolzano και Cauchy.

O Bolzano αναφέρει στην εισαγωγή του έργου του σχετικά με την απόδειξη του θεωρήματoς²

… Στην επιστήμη³, οι αποδείξεις δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να είναι απλές διαδικασίες ανάδειξης της αλήθειας, αλλά πρέπει να αποκαλυφθεί το αντικειμενικό θεμέλιο που διαθέτει η αλήθεια που πρόκειται να αποδειχθεί.

(αναφέρεται στο θεώρημα) … Ακόμη και αν η γεωμετρική αλήθεια στην οποία αναφερόμαστε εδώ είναι (όπως έχουμε ήδη πει) αυταπόδεικτη στον ύψιστο βαθμό και επομένως δεν χρειάζεται απόδειξη ως κατασκεύασμα αυταπόδεικτου, χρειάζεται ωστόσο μια θεμελίωση. Οι έννοιες από τις οποίες αποτελείται είναι εμφανώς τόσο πολύπλοκες ώστε δεν θα λέγαμε ότι ανήκει σε εκείνες τις απλές αλήθειες που ονομάζονται αρχές ή πρωταρχικές αλήθειες …..

Όπως φαίνεται απέχουμε πολύ από το να θεωρούμε ότι τα παραδείγματα και οι εφαρμογές είναι κάτι που θα μείωναν την τελειότητα μιας επιστημονικής έκθεσης. Απαιτούμε σταθερά μόνο το εξής: δεν θα προτείνουμε ποτέ παραδείγματα στη θέση των αποδείξεων δεν θα βασίσουμε ποτέ την ουσία του συμπεράσματος σε ακατάλληλα χρησιμοποιούμενες εκφράσεις της γλώσσας και στις δευτερεύουσες παραστάσεις. Ένα τέτοιο συμπέρασμα δεν θα ήταν έγκυρο μόλις αλλάζαμε έκφραση…

Αυτό που κρατάμε είναι η μαθηματική ποιότητα της νέας απόδειξης από τις προηγούμενες θεωρήσεις. Είναι κάτι που δίνει τη πραγματική διάσταση (και διδακτική επίσης) στην αντιμετώπιση του θεωρήματος. Αυτό όμως που απουσιάζει από το κείμενο του Bolzano για να έχουμε την πλήρη εικόνα των εννοιών πάνω στις οποίες εμβαθύνει την εξάρτηση του αποτελέσματος, είναι η δομή των πραγματικών αριθμών. O Bolzano το αισθάνεται και o φαύλος κύκλος των επιχειρημάτων του δείχνει λίγο πολύ αυτό το άγχος. Αν και επιχείρησε το 1830-34 να δώσει την θεμελίωση των πραγματικών αριθμών, δεν επικαιροποίησε την απόδειξη του θεωρήματος.

Το διαφορετικό του Θεωρήματος, στην μετά Bolzano εποχή, είναι ότι υποδεικνύει τη φύση των πραγματικών αριθμών σαν υπεύθυνη της ύπαρξης, ενώ το Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών μας δίνει μια κατασκευαστική διαδικασία διαδοχικών προσεγγίσεων για την σύλληψη αυτής της ρίζας.

Η άλλη ενδιαφέρουσα άποψη που θα μας απασχολήσει κατά την κατασκευή των αλγορίθμων είναι το πως ο Cauchy στο “Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, 1821″, αντιμετωπίζει το ίδιο θεώρημα, (NOTE III, σελίδα 460). Ο Cauchy χρησιμοποιεί τη συνέχεια σε διάστημα (δεν γνώριζε την απόδειξη του Bolzano), ενώ ο Bolzano τη συνέχεια σε σημείο. Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε τις σημειώσεις του Cauchy για να προσεγγίσουμε την έννοια της συνέχειας με δεκαδικούς αριθμούς, παραφράζοντας την κλασική έννοια της συνέχειας. Αυτό είναι ένα τεχνικό εργαλείο, χρήσιμο στην κατασκευή του αλγορίθμου.

1) Η Γεωμετρική διάσταση του θεωρήματος (Το χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης, οι Euler και Gauss το θεωρούσαν γεωμετρικά προφανές …)

2) Προσδιορισμός Αριθμού Πραγματικών Ριζών Πολυωνυμικών Εξισώσεων. Ο αλγόριθμός Sturm – Determination of the Number of Real Roots of Polynomial Equations. Sturm’s Algorithm- (Η περίπτωση 2 πολύ ειδικών πολυωνυμικών εξισώσεων)

3) Αλγόριθμοι (κατασκευή αλγορίθμων στην Python την ακολουθία Sturm)n και χρήση έτοιμων αλγορίθμων στο Maple – για την ακολουθία Sturm)

Δείτε τους αλγορίθμους Sturm – Habicht, Buchberger κλπ. Οι αλγόριθμοι αυτοί είναι γενικευμένοι τρέχουν πάνω σε πραγματικώς κλειστά σώματα και χρησιμοποιούν συνδιασμούς αλγεβρικών και συμβολικών μεθοδολογιών. ↩︎
Bernard Bolzano (trad. J. Sebestik), Demonstration purement analytique du theoreme : entre deux valeurs quelconques qui donnent deux resultats de signes opposes se trouve au moins une racine reelle de l’equation. [Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege], Revue d’ histoire des sciences, vol.17, no.2, 1964, p. 136 – 164. ↩︎
Μτφρ. Λυγάτσικας Ζ. ↩︎