Θα προσπαθήσω να τυποποιήσω αυτό που λέμε σήμερα γεωμετρική διάσταση του θεωρήματος των ενδιάμεσων τιμών. Σε αυτό θα μας βοηθήσει ο Robin Hartshorne δείτε στο “Geometry: Euclid and Beyond, Springer, 2000″.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο καμπύλες \(\gamma_1\) και \(\gamma_2\) ανάμεσα από 2 σημεία \(Α\) και \(Β\). Αν πάνω από το \(A\) έχουμε τη καμπύλη \(\gamma_1\) πάνω από τη καμπύλη \(\gamma_2\) και αντίστοιχα, πάνω από το σημείο \(B\) η καμπύλη \(\gamma_2\) είναι τώρα πάνω από τη καμπύλη \(\gamma_1\), τότε οι δύο καμπύλες τέμνονται.
Η παρατήρηση αυτή θεωρήθηκε τόσο προφανής που δεν ασχολήθηκε κανείς μαθηματικός για την απόδειξή της. Οι δε Euler και Gauss θεωρούσαν το αποτέλεσμα γεωμετρικά προφανές.
Η πρώτη πρόταση των Στοιχείων, Πρόταση (I.1), που φαίνεται ότι αφορά στην παραπάνω παρατήρηση, είναι μια κατασκευή που μας εκπλήσσει η φαινομενική της αφέλεια στο 1ο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, αλλά είναι ενδιαφέρουσα.
(Πρόταση Ι.1 – Στοιχεία): Με πλευρά δεδομένο ευθ. τμήμα να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο.
Απόδειξη: Αν γράψω δύο κύκλος με κέντρα τα \(Β\) και \(\Gamma\) και ακτίνα ίση με \(B\Gamma\), τότε αν \(Α\) είναι το σημείο που τέμνονται οι κύκλοι, τότε \(ΑΒ=Β\Gamma =A\Gamma\) και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.\(\blacksquare\)
Αν παρατηρήσατε τον συλλογισμό της κατασκευής, ο οποίος δεν διαφέρει από αυτόν που κάνει ο Ευκλείδης στα Στοιχεία, θα προσέξατε ότι δεν υπάρχει αξίωμα, ή πρότερη πρόταση, που να εξασφαλίζει ότι η τομή δύο κύκλων υπάρχει! Γιατί ο Ευκλείδης δεν αισθάνθηκε την ανάγκη να πεί το πότε τέμνονται δύο κύκλοι όπως αντίστοιχα έκανε στο 5ο αίτημα για τις ευθείες; Το θεώρησε δεδομένο;
Υπάρχουν δύο διακριτά θέματα πάνω στο σημείο αυτό τα οποία ο Ευκλείδης ίσως δεν έδωσε σημασία:
Το πρώτο αφορά τη σχετική θέση καμπυλών ή τη σχέση της ενδιαμεσότητας, όπως θα την δούμε στην αξιωματική θεμελίωση του Hilbert και δεύτερο τη συνέχεια μιας γραμμής ή μιας καμπύλης γενικότερα.
Γνωρίζουμε ότι δύο κύκλοι τέμνονται αν βρεθούν σε μια συγκεκριμένη θέση μεταξύ τους. Αν οι κύκλοι δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία τότε δεν τέμνονται, αν όμως υπάρχει ένα μέρος του ενός που έχει εσωτερικά κοινά σημεία με τον άλλον και ένα μέρος του έχει εξωτερικά με τον ίδιο κύκλο, τότε οι κύκλοι τέμνονται. Δηλαδή κατά κάποιο τρόπο οι κύκλοι τέμνονται αν διασταυρώνονται. Το τι σημαίνει ότι οι κύκλοι διασταυρώνονται ο Ευκλείδης το επιλύει παρακάτω στη κατασκευή τριγώνου όταν δίνονται τα τρία ευθ. τμήματα των πλευρών του, \(a\), \(b\) και \(c\). Εκεί, δίνει τη γνωστή σχέση που πρέπει να ικανοποιούν τα ευθ. τμήματα έτσι ώστε να υπάρχει το τρίγωνο με τα δεδομένα ευθ. τμήματα, \(a+b>c\). Στην περίπτωσή μας, \(2a>a\). Την έννοια αυτή θα την διευκρινίσει περισσότερο μετέπειτα ο Hilbert.
Το δεύτερο θέμα αφορά τη συνέχεια. Πρέπει να υποθέσουμε ότι υπάρχει κάτι για να τμηθεί. Σήμερα, λέμε ότι αυτό συμβαίνει επειδή οι καμπύλες είναι συνεχείς και η ύπαρξη του κοινού σημείου ακολουθεί το θεώρημα Bolzano.
‘Αρα, δεν αρκεί μόνο εν γένει η σχετική θέση δύο καμπυλών να είναι τέτοια ώστε οι καμπύλες να τέμνονται, αλλά πρέπει επιπλέον οι καμπύλες να είναι συνεχείς με την σύγχρονη έννοια της τοπολογίας. Αυτό ήταν εντελώς άγνωστο στην εποχή του Ευκλείδη.
Αλλά, και κάτι άλλο που έχει σχέση με το γεωμετρικό λογισμό: αν το μήκος του \(Β\Gamma\) είναι 1 μονάδα, στη Πρόταση Ι.1, τότε η κορυφή \(Α\) είναι το σημείο \(\Big(\displaystyle{1\over 2},\displaystyle{\sqrt{3}\over 2}\Big)\) το οποίο σημείο δεν υπάρχει στο Ευκλείδειο επίπεδο! Η αναγνώριση των μετρήσιμων ποσοτήτων έκανε τους Έλληνες γεωμέτρες να πιστέψουν ότι οι γεωμετρικές ποσότητες ήταν κάτι ποιο γενικό απο τους αριθμούς. Αυτή η αίσθηση γέννησε την ιδέα μιας άλγεβρας καθαρά γεωμετρικής που θα αντικαταστούσε την αριθμητική άλγεβρα που την κληρονόμησαν από τους Βαβυλωνίους. Για τον λόγο αυτό ο μεγάλος αυτός γεωμέτρης από καθαρή μαθηματική διαίσθηση αφήνει τη πρώτη πρόταση των Στοιχείων ανοικτή στο διάλογο τον οποίο φυσικά δεν μπορεί να τον προσδιορίσει.
Η γεωμετρική προσέγγιση του θεωρήματος του Bolzano μέσα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχει πλουσιότερο διδακτικό υλικό που απαρτίζεται από έννοιες και κατασκευές γνωστές σε ένα μαθητή της Β Λυκείου. Ωστόσο, μια απλή αναφορά στο θεώρημα του Bolzano, δεν δικαιολογεί από μόνη της την αναγκαιότητα ύπαρξης σε ένα μαθηματικό syllabus, χωρίς την αναφορά στην αναλυτική υπόσταση του θεωρήματος.
Κάθε καμπύλη στο Καρτεσιανό επίπεδο ορίζει περιοχές (συνιστώσες) σημείων ανάλογα με το πρόσημο της εξίσωσης της καμπύλης στις συντεταγμένες των σημείων αυτών. Ο προσανατολισμός του επιπέδου σε περιοχές θετικές, μηδενικές και αρνητικές είναι μια τοπολογία που δείχνει την αντιστοιχία με τις υποθέσεις στο θεώρημα Bolzano.
