Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός από τούβλα διαστάσεων \(3\times 3\times 2\) που χωράνε σε ένα κουτί με διαστάσεις \(13\times 8\times 4\), χωρίς να ξεπερνούν οι διαστάσεις των τούβλων τις διαστάσεις του κουτιού?
Υπόδειξη: Τα τούβλα μπορούν να τοποθετηθούν με διαφορετικούς προσανατολισμούς, οπότε εξετάζουμε τις βασικές περιπτώσεις:
- Προσανατολισμός 1: (3, 3, 2) τοποθετημένο έτσι ώστε:
- μήκος 3 με μήκος κουτιού 13: χωράνε \(13\div 3=4\) και περισσεύει 1 (άρα 4 τούβλα)
- πλάτος 3 με πλάτος κουτιού 8: χωράνε \(8\div 3=2\) και περισσεύει 2 (άρα 2 τούβλα)
- ύψος 2 με ύψος κουτιού 4: χωράνε \(4\div 2=2\) (ακριβώς 2 τούβλα)
Σύνολο τούβλων: \(4\times 2\times 2 = 16\) τούβλα.
- Προσανατολισμός 2: Γυρνάμε το τούβλο ώστε η πλευρά 2 να γίνει μήκος στο κουτί. Διαστάσεις τούβλου (2, 3, 3) με κουτί (13, 8, 4):
- μήκος 2: \(13\div 2=6\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 6 τούβλα.
- πλάτος 3: \(8\div 3=2\) (περισσεύει 2) \(\rightarrow\) 2 τούβλα.
- ύψος 3: \(4\div 3=1\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 1 τούβλo.
Σύνολο τούβλων: \(6\times 2\times 1 =12\) τούβλα.
- Προσανατολισμός 3: Διαστάσεις τούβλου (3, 2, 3) με κουτί (13, 8, 4):
- μήκος 3: \(13\div 3 =4\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 4 τούβλα.
- πλάτος 2: \(8\div 2= 4\) \(\rightarrow\) 4 τούβλα.
- ύψος 3: \(4\div 3 =1\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 1 τούβλo.
Σύνολο τούβλων: \(4\times 4\times 1 =16\) τούβλα.
Έλεγχος με συνολικό όγκο:
όγκος τούβλου: \(3\times 3\times 2=18\).
όγκος κουτιού: \(13\times 8\times 4=416\).
Αν χωρούσαν χωρίς κενά, το πολύ \(416\div 18=23\) τούβλα (αλλά δεν γίνεται λόγω σχήματος).
Με 16 τούβλα:
Καλυπτόμενος όγκος: \(16\times 18=288\).
Κενός όγκος: \(416-288=128\), δηλαδή αρκετός κενός χώρος, αλλά δεν αξιοποιείται λόγω διαστάσεων. \(\blacksquare\)