Κατηγορία: Θέματα Προτύπων και Ωνασείων Σχολείων

• Αξιολόγηση των Θεμάτων Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Λύκεια

  Στόχος του παρόντος άρθρου είναι να διερευνήσει μια κρίσιμη – και συχνά σιωπηρή- παραδοχή: ότι οι στόχοι των Προτύπων Σχολείων, όπως αυτοί διατυπώθηκαν στο αρχικό νομοθετικό πλαίσιο, ενδέχεται να απαιτούν επαναξιολόγηση. Η ανάγκη αυτή δεν αφορά μόνο τη λειτουργική αποτελεσματικότητα των σχολείων αυτών, αλλά και τον βαθμό στον οποίο ανταποκρίνονται στον ευρύτερο κοινωνικό τους ρόλο: την καλλιέργεια της αριστείας ως δημόσιου αγαθού και όχι απλώς ως μηχανισμού επιλογής.

  Στο πλαίσιο αυτό, τίθεται ένα βασικό ερώτημα: αποτελούν τα Πρότυπα Σχολεία χώρους καλλιέργειας της μαθηματικής σκέψης ή λειτουργούν κυρίως ως φίλτρα επιλογής μαθητών που έχουν ήδη αποκτήσει συγκεκριμένες δεξιότητες; Η απάντηση δεν μπορεί να δοθεί σε επίπεδο διακηρύξεων· απαιτεί προσεκτική εξέταση των ίδιων των μηχανισμών επιλογής.

  Για τον λόγο αυτό, η παρούσα προσέγγιση ξεκινά από μια συστηματική ανάλυση των φετινών θεμάτων Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Λύκεια. Μέσα από την αξιολόγηση των γνωστικών απαιτήσεων, του βαθμού εξάρτησης από προηγούμενη προπόνηση και της δυνατότητας καλλιέργειας μαθηματικού στοχασμού, επιχειρείται να αποτυπωθεί με μεγαλύτερη σαφήνεια τι ακριβώς μετράται σε αυτή τη διαδικασία.

  Η συζήτηση για το πώς θα μπορούσαν να επαναπροσδιοριστούν οι στόχοι των Προτύπων Σχολείων -ή έστω ενός μέρους αυτών- ώστε να ανταποκρίνονται πληρέστερα στον παιδαγωγικό και κοινωνικό τους ρόλο, θα αποτελέσει αντικείμενο επόμενου άρθρου. Εδώ, το ζητούμενο είναι πρωτίστως διαγνωστικό: να κατανοήσουμε τι συμβαίνει, πριν προτείνουμε τι θα μπορούσε να αλλάξει.

  Θα κατασκευάσω έναν πίνακα αξιολόγησης των 20 θεμάτων των Μαθηματικών του διαγωνίσματος της 26/4/2026, με κριτήριο την ποιότητα του μαθηματικού αντικειμένου ως προς:

  • την Ανάλυση (κατανόηση δομών, σχέσεων, στρατηγική διάσπαση) και
  • τη Σύνθεση (συνδυασμός γνώσεων, δημιουργική αξιοποίηση εργαλείων)

  Χρησιμοποιώ κλίμακα:

  • Υψηλή ποιότητα
  • Μέση ποιότητα
  • Χαμηλή ποιότητα

  και δίνω ένα σύντομo σχόλιο στο γνωστικό περιχόμενο.

  Α’ Ομάδα Ερωτήσεων (Διαγώνισμα για το Λύκειο 2026)

  

  Β’ Ομάδα Ερωτήσεων

  

  Συνολική Εκτίμηση

  Κατανομή ποιότητας:

  • Υψηλή ποιότητα: 10 θέματα
  • Μέση ποιότητα: 7 θέματα
  • Χαμηλή ποιότητα: 3 θέματα

  Κύρια συμπεράσματα

  Ισχυρή παρουσία ποιοτικών θεμάτων. Τα θέματα: $$24, 29, 30, 32, 34, 35, 37, 38, 39, 40$$ Τα θέματα αυτά έχουν υψηλό δυναμικό καλλιέργειας μαθηματικού στοχασμού. Ωστόσο, στη συγκεκριμένη μορφή εξέτασης, η επίλυσή τους επηρεάζεται σημαντικά από προηγούμενη εξοικείωση με αντίστοιχους τύπους προβλημάτων. Το αρνητικό είναι ότι με τη μορφή με την οποία τίθενται τα προβλήματα αυτά, μετατοπίζεται η επιτυχία από τη διαδικασία σκέψης στην αναγνώριση γνωστών σχημάτων.

  Τα θέματα: 21, 28 (και εν μέρει το 22) είναι καθαρά υπολογιστικά, χωρίς ουσιαστική γνωστική πρόκληση. Τα θέματα αυτά λειτουργούν περισσότερο ως φίλτρο ταχύτητας, όχι σκέψης.

  Το διαγώνισμα είναι ισορροπημένο, δεν είναι υπερβολικά τεχνικό, έχει αρκετές ευκαιρίες για ανάλυση – σύνθεση και περιλαμβάνει μοντελοποίηση (πιθανότητες, στατιστική).

  Αν ο στόχος είναι: καλλιέργεια μαθηματικού στοχασμού τότε το διαγώνισμα κινείται προς τη σωστή κατεύθυνση, αλλά κρατά ακόμη τα ασφαλή θέματα χαμηλού επιπέδου.

  Μπορεί ένας πολύ ικανός μαθητής, χωρίς εξειδικευμένη προετοιμασία, να διακριθεί?

  Η ειλικρινής απάντηση: Μερικώς ναι αλλά όχι συστηματικά.

  Σήμερα, τα Μαθηματικά των Προτύπων Γυμνασίων είναι ένα υβρίδιο που γέρνει επικίνδυνα προς την πλευρά της αναπαραγωγής επιτυχίας. Και αυτό δεν είναι θέμα πρόθεσης, είναι θέμα σχεδιασμού.

  Tι δείχνουν τα θέματα που αναλύσαμε? Αν πάρουμε σοβαρά την προηγούμενη αξιολόγηση το 50% των θεμάτων απαιτούν υψηλής ποιότητας σκέψη, ενώ το υπόλοιπο 50% απαιτούν μέσης/χαμηλής ποιότητας τεχνική, εξάσκηση.

  Διακρίνουμε 2 τύπους Μαθηματικής Επιτυχίας:

  1. Σκέψη (school – compatible)
     • αναγνώριση δομών
     • μετασχηματισμοί
     • αιτιολόγηση

  Αυτό μπορεί να καλλιεργηθεί από το σχολείο (και το ΑΠΣ το επιδιώκει θεωρητικά

  2. Διαγωνιστική δεξιότητα (training – dependent)
     • έχω ξαναδεί αυτό το τέχνασμα
     • γρήγορη ανάκληση μοτίβων
     • τεχνικές συντομεύσεις

  Αυτό καλλιεργείται κυρίως: στα φροντιστήρια, στις προπονήσεις, με τα εξειδικευμένα βιβλία.

  Ας αναλύσουμε λίγο αυτή την παρατήγρηση: θα δώσουμε έναν ενιαίο πίνακα για όλα τα θέματα (21–40) με τετραπλό χαρακτηρισμό:

  • ΣΣ (Συμβατό με το ΑΠΣ), λύνεται με καθαρή σχολική σκέψη, χωρίς πλεονέκτημα προπόνησης.
  • ΕΕ (Εξάρτηση από Ειδική Εκπαίδευση), εξαρτάται ουσιαστικά από τεχνική εξοικείωση. Η επίλυσή τους εντός του ασφυκτικού χρόνου της εξέτασης απαιτεί τη γνώση συγκεκριμένων τεχνασμάτων¹, τα οποία σπάνια αναλύονται σε βάθος στη σχολική τάξη.
  • ΣΣ-ΕΕ (Συμβατό με το ΑΠΣ αλλά Εξάρτηση από Ειδική Εκπαίδευση), λύνεται από καλό μαθητή, αλλά ο προπονημένος έχει σαφές πλεονέκτημα.
  • Τέλος, θα βάλουμε και έναν Δείκτη Εξάρτησης από Προπόνηση (φροντιστήριο), ως εξής:
    • Χαμηλός 1
    • Μέτριος 2
    • Υψηλός 3

  

  Το σημαντικότερο εύρημα είναι ότι η πλειονότητα (12/20) ανήκει στη ζώνη ΣΣ-ΕΕ και το 15/20 εξαρτάται από προπόνηση. Τι σημαίνει αυτό παιδαγωγικά: τα θέματα δεν αποκλείουν τον καλό μαθητή αλλά δημιουργούν σιωπηλό πλεονέκτημα για μαθητές με ειδική προπόνηση και έκθεση σε τύπο προβλημάτων.

  Μια καθαρή διατύπωση είναι ότι τα θέματα δεν είναι ούτε καθαρά διαγωνιστικά ούτε καθαρά σχολικά. Είναι: σχολικά στη θεωρία, διαγωνιστικά στην απόδοση.

  Αν ένας μαθητής είναι πολύ καλός αλλά χωρίς προπόνηση, θα λύσει τα ΣΣ και θα παλέψει στα ΣΣ-ΕΕ. Αν ένας μαθητής είναι καλός και προπονημένος, θα καθαρίσει τα ΣΣ-ΕΕ. Εκεί κρίνεται η επιτυχία.

  Το σύστημα δεν ζητά μόνο να σκέφτεσαι. Ζητά να έχεις ξανασκεφτεί παρόμοια πράγματα.

  Θα μετασχηματίσουμε 3 θέματα που έχουν χαρακτηριστεί παραπάνω σαν ΣΣ-EE, σε θέματα τύπου ΣΣ, χωρίς να πέσει η δυσκολία τους.

  Θέμα 24 – Ομοιότητα

  Αρχική μορφή ΣΣ-ΕΕ: Τυπική χρήση λόγων και αναλογιών. Εύκολα αναγνωρίζεται ως άσκηση ομοιότητας. Ο προπονημένος μαθητής βλέπει κατευθείαν τη λύση.

  Μετασχηματισμός, καθαρό ΕΕ:

  Σε ένα τρίγωνο, δύο σημεία κινούνται πάνω στις πλευρές του. Να διερευνήσετε πότε το τρίγωνο που σχηματίζουν είναι όμοιο με το αρχικό. Να περιγράψετε όλες τις περιπτώσεις και να αιτιολογήσετε πλήρως.

  Τι έχει αλλάξει? Φεύγει η έτοιμη δομή, εισάγεται διερεύνηση, πολλαπλές περιπτώσεις, απαιτεί γενίκευση όχι εφαρμογή.

  Τι μετράει τώρα? Αναγνώριση συνθηκών ομοιότητας, παραγωγή περίπτωσης, δομή επιχειρήματος. Δεν υπάρχει έτοιμο μοτίβο.

  Θέμα 32 – Τριγωνομετρία

  Αρχική μορφή ΣΣ-ΕΕ: Χρήση ταυτοτήτων, γνωστές τεχνικές, έντονα εξαρτώμενο από τεχνική εξοικείωση.

  Μετασχηματισμός, καθαρό ΕΕ:

  Δίνεται γωνία \(\theta\) με \(0^o<\theta <90^o\) και ισχύει:
  $$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=1$$
  Είναι δυνατόν να υπάρχει μια τέτοια γωνία? Να αιτιολογήσετε πλήρως.

  Αντικαθιστά:

  • Απλοποίησε \(\rightarrow\) Τι σημαίνει αυτή η σχέση.
  • Χρησιμοποίησε ταυτότητα \(\rightarrow\) Τι πληροφορία δίνει.
  • Τεχνική \(\rightarrow\) Ερμηνεία.

  Θέμα 40 – Κύκλοι-εμβαδά

  Είναι καλό θέμα αλλά απαιτεί εξοικείωση με τόξα και τομείς, γνωστές τεχνικές γεωμετρίας και έξυπνα tricks.

  Μετασχηματισμός, καθαρό ΕΕ:

  Δίνεται τετράγωνο πλευράς \(r\). Σχεδιάζουμε δύο τεταρτοκύκλια με κέντρα δύο απέναντι κορυφές και ακτίνα \(r\).
  Ερώτηση: Υπάρχει σημείο στο εσωτερικό του τετραγώνου που ανήκει και στα δύο τόξα? Αν ναι, να περιγράψετε τη θέση του. Αν όχι, να εξηγήσετε γιατί.

  Η αρχική διατύπωση ήταν σωστή ως ιδέα αλλά λάθος ως πρόβλημα. Το θέμα απαιτεί ερμηνεία όχι τεχνική! Δεν ζητά υπολογισμό, ζητά: σύγκριση, γεωμετρική διαίσθηση και επιχειρηματολογία. Τι αξιολογεί? Τη κατανόηση της δομής του χώρου όχι τύπους εμβαδού και δεν εξαρτάται από προηγούμενη άσκηση.

  Συμπέρασμα

  Άρα, αυτή η μορφή διαγωνίσματος, δεν απαιτεί να είσαι έξυπνος στα μαθηματικά. Πρέπει να είσαι και εκπαιδευμένος στο παιχνίδι.

  Το πρόβλημα δεν είναι ότι τα θέματα είναι απαιτητικά. Το πρόβλημα είναι ότι η απαίτηση δεν είναι διαφανής: ζητείται σκέψη, αλλά επιβραβεύεται η εξοικείωση.

  Είναι γεγονός ότι οι καλοί και οι άριστοι μαθητές δεν σπουδάζουν Μαθηματικά (αν θέλετε, πάρα πολλοί λίγοι). Και αυτό σήμερα είναι ένα φαινόμενο με παγκόσμια διάσταση παρά την αυξημένη ζήτηση της τεχνολογίας και τεχνικής για ερευνητές με αυστηρά μαθηματικές δεξιότητες.

  Μία εκ των συνεπειών αυτής της τάσης είναι και το ότι τα Μαθηματικά που προβάλλονται (ιδίως σε περιφερειακές χώρες, όπως η Ελλάδα) είναι ένα μέσο επιλογής και όχι αντικείμενο νοήματος.
  Tα Μαθηματικά των Προτύπων σήμερα είναι Μαθηματικά επιλογής υπό πίεση όχι Μαθηματικά καλλιέργειας σκέψης!

  Γιατί? τα Μαθηματικά που καλλιεργούν σκέψη δεν έχουν μία διαδρομή, επιτρέπουν την αποτυχία και απαιτούν χρόνο. Ενώ, τα Μαθηματικά που αναπαράγουν επιτυχία, έχουν γνωστές δομές, επιβραβεύουν τη ταχύτητα και τιμωρούν το λάθος.

  Τα Πρότυπα σήμερα βρίσκονται ανάμεσα στη καλλιέργεια και στην αναπαραγωγή επιτυχίας, αλλά η αξιολόγηση τα σπρώχνει προς το δεύτερο.
  Το πραγματικό ερώτημα δεν είναι παιδαγωγικό. Είναι πολιτικό/εκπαιδευτικό. Θέλουμε τα Πρότυπα να είναι: φίλτρο αριστείας ή εργαστήριο καλλιέργειας αριστείας?
  Σήμερα τα Σχολεία αυτά είναι φίλτρα ενώ θα έπρεπε να είναι εργαστήρια!

  Τι επιπτώσεις θα έχει η μετατόπιση του κέντρου βάρους στη δεύτερη επιλογή, πάνω στον σχεδιασμό της θεματικής ενός διαγωνίσματος εισαγωγής στα Σχολεία αυτά?
  Τα θέματα πρέπει:
  να λύνονται χωρίς έκθεση σε παρόμοια,
  να επιτρέπουν πολλαπλές προσεγγίσεις,
  να μην ανταμείβουν tricks και
  να έχουν γνωστική διαφάνεια.

  Παρ’ όλα αυτά θα πρέπει να ξέρουμε ότι στα Μαθηματικά οποιαδήποτε απομάκρυνση (μικρή ή μεγάλη) από την τεχνική δεν πρέπει να οδηγεί σε αοριστία.

  1. Αντί για θέματα που απαιτούν την ανάκληση ενός trick, τα θέματα θα πρέπει να παρέχουν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες εντός της εκφώνησης, ζητώντας από τον μαθητή να τις συνθέσει με νέο τρόπο. Παράδειγμα: Αντί για το Θέμα 31 (έτοιμο ριζικό), θα μπορούσε να δοθεί ένας νέος ορισμός μιας μαθηματικής πράξης και να ζητηθεί από τον μαθητή να διερευνήσει τις ιδιότητές της ↩︎

  2026.05.04

• Επιλογή Κώνου

  Ποιος από τους παρακάτω κώνους προκύπτει από έναν κυκλικό τομέα γωνίας \(252^o\) ενός κύκλου ακτίνας 10,

  

  όταν ταυτιστούν οι δύο ευθείες πλευρές του;

  

  2026.05.01

• 2 Διαγωνίσματα για τις εξετάσεις από Δημοτικό σε Γυμνάσιο

  2 διαγωνίσματα με τις απαντήσεις, αρκετά εύκολα για ενθάρρυνση:

  cours 26Λήψη

  2026.04.20

• Πρόβλημα μεγίστου

  Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός από τούβλα διαστάσεων \(3\times 3\times 2\) που χωράνε σε ένα κουτί με διαστάσεις \(13\times 8\times 4\), χωρίς να ξεπερνούν οι διαστάσεις των τούβλων τις διαστάσεις του κουτιού?

  Υπόδειξη: Τα τούβλα μπορούν να τοποθετηθούν με διαφορετικούς προσανατολισμούς, οπότε εξετάζουμε τις βασικές περιπτώσεις:

  • Προσανατολισμός 1: (3, 3, 2) τοποθετημένο έτσι ώστε:
    • μήκος 3 με μήκος κουτιού 13: χωράνε \(13\div 3=4\) και περισσεύει 1 (άρα 4 τούβλα)
    • πλάτος 3 με πλάτος κουτιού 8: χωράνε \(8\div 3=2\) και περισσεύει 2 (άρα 2 τούβλα)
    • ύψος 2 με ύψος κουτιού 4: χωράνε \(4\div 2=2\) (ακριβώς 2 τούβλα)

  Σύνολο τούβλων: \(4\times 2\times 2 = 16\) τούβλα.

  • Προσανατολισμός 2: Γυρνάμε το τούβλο ώστε η πλευρά 2 να γίνει μήκος στο κουτί. Διαστάσεις τούβλου (2, 3, 3) με κουτί (13, 8, 4):
    • μήκος 2: \(13\div 2=6\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 6 τούβλα.
    • πλάτος 3: \(8\div 3=2\) (περισσεύει 2) \(\rightarrow\) 2 τούβλα.
    • ύψος 3: \(4\div 3=1\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 1 τούβλo.

  Σύνολο τούβλων: \(6\times 2\times 1 =12\) τούβλα.

  • Προσανατολισμός 3: Διαστάσεις τούβλου (3, 2, 3) με κουτί (13, 8, 4):
    • μήκος 3: \(13\div 3 =4\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 4 τούβλα.
    • πλάτος 2: \(8\div 2= 4\) \(\rightarrow\) 4 τούβλα.
    • ύψος 3: \(4\div 3 =1\) (περισσεύει 1) \(\rightarrow\) 1 τούβλo.

  Σύνολο τούβλων: \(4\times 4\times 1 =16\) τούβλα.

  

  Έλεγχος με συνολικό όγκο:
  όγκος τούβλου: \(3\times 3\times 2=18\).
  όγκος κουτιού: \(13\times 8\times 4=416\).
  Αν χωρούσαν χωρίς κενά, το πολύ \(416\div 18=23\) τούβλα (αλλά δεν γίνεται λόγω σχήματος).

  Με 16 τούβλα:
  Καλυπτόμενος όγκος: \(16\times 18=288\).
  Κενός όγκος: \(416-288=128\), δηλαδή αρκετός κενός χώρος, αλλά δεν αξιοποιείται λόγω διαστάσεων. \(\blacksquare\)

  2026.04.04

• Αριθμός καρτών

  Τρεις φίλοι, η Άννα (Α), ο Βαγγέλης (Β) και η Σοφία (Σ), έχουν συνολικά 72 κάρτες. Κάνουν διαδοχικά τις εξής μετακινήσεις:

  1. Η Άννα δίνει στον Βαγγέλη τόσες κάρτες, όσες έχει η Σοφία εκείνη τη στιγμή.
  2. Ο Βαγγέλης δίνει στη Σοφία τόσες κάρτες, όσες έχει η Άννα εκείνη τη στιγμή.
  3. Η Σοφία δίνει στην Άννα τόσες κάρτες, όσες έχει ο Βαγγέλης εκείνη τη στιγμή.
  4. Η Άννα δίνει στον Βαγγέλη τόσες κάρτες, όσες έχει η Σοφία εκείνη τη στιγμή.

  Μετά από αυτές τις τέσσερις κινήσεις, και οι τρεις έχουν τον ίδιο αριθμό καρτών.

  Να βρεθεί πόσες κάρτες είχε αρχικά η Σοφία.

  1. 0
  2. 12
  3. 2
  4. 5
  5. 6

  Απάντηση: Σωστό το Α.

  2026.04.02

• Πρόβλημα διερεύνησης (εξίσωση 1)

  Για ποιες τιμές της παραμέτρου \(k\) η εξίσωση $$\displaystyle{\frac{x-6}{x-2}=\frac{x-k}{x-1}}$$ δεν έχει ρίζα ως προς \(x\)?

  1. 2
  2. 4
  3. 1
  4. 3
  5. 5

  Απάντηση: Σωστό το Ε. Η εξίσωση, μετά από πράξεις γίνεται $$x(k-5)=2k-6$$ Για \( k=5\) η εξίσωση γίνεται \( 0=4\), αδύνατο. Η εξίσωση είναι αδύνατη επίσης για \(k=0\) αλλά δεν είναι μέσα στις εξεταζόμενες περιπτώσεις.\(\square\)

  2026.03.30

• Εύρεση ριζών

  Υποθέστε ότι \(a\) και \(b\) είναι δύο μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και ότι η εξίσωση \(x^2+a x+b=0\) έχει ρίζες τους αριθμούς αυτούς. Ποιο μπορεί να είναι το ζεύγος αριθμών \( \big(a,b\big)\)?

  1. \( (1,2) \)
  2. \( (-1,2)\)
  3. \( (2,-1)\)
  4. \( (1,-2) \)
  5. \( (4,4) \)

  Απάντηση: Σωστό το D. $$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab\Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} a+b = -a\\ ab=b \end{array}\right .$$

  Επομένως \(a=1\) και \(b=-2\). \( \square \)

  2026.03.30

• Ένα άθροισμα

  Υποθέστε ότι: $$a=b+\displaystyle{\frac{1}{2}}=c+1=d+1=a+b+c+d+1$$

  To άθροισμα \(a+b+c+d\) είναι ίσο με:

  1. \(\frac{1}{4}\)
  2. \(\frac{1}{3}\)
  3. \(-\frac{1}{2}\)
  4. \(-\frac{1}{3}\)
  5. \(\frac{2}{5}\)

  Απάντηση: Σωστό το C. Εύκολο, προσθέστε κατά μέλη όλες τις ισότητες. \(\square\)

  2026.03.30

• Κύβος με ζάρια

  Ένας κύβος \(2\times 2\times 2\) σχηματίζεται κολλώντας μεταξύ τους 8 κανονικά κυβικά ζάρια. (Σε ένα κανονικό ζάρι, το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε δύο απέναντι έδρες είναι 7.)
  Ποιο είναι το μικρότερο δυνατό άθροισμα όλων των αριθμών που φαίνονται στην επιφάνεια του κύβου \(2\times 2\times 2\);

  1. 36
  2. 42
  3. 40
  4. 48
  5. 56

  Απάντηση: Σωστό το D. Δεν υπάρχουν ζάρια στο εσωτερικό του κύβου. Ο μικρότερος κύβος που έχει εσωτερικά ζάρια είναι \(3\times 3\times 3\). ‘Ολα τα ζάρια στον κύβο έχουν 3 εκτεθειμένες έδρες.

  

  Κάθε ζάρι έχει την ιδιότητα: απέναντι έδρες έχουν άθροισμα 7, δηλαδή ζεύγη (1,6), (2,5), (3,4).

  Σε ένα γωνιακό ζάρι (3 εκτεθειμένες έδρες), οι τρεις έδρες συναντώνται σε μια κορυφή, άρα είναι ανά δύο κάθετες. Κανένα ζεύγος από αυτές δεν είναι απέναντι (γιατί απέναντι έδρες είναι παράλληλες).

  Για να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των τριών εκτεθειμένων εδρών, επιλέγουμε τον μικρότερο δυνατό αριθμό από κάθε ζεύγος απέναντι εδρών:

  • Από $(1,6)$ επιλέγουμε $1$
  • Από (2,5) επιλέγουμε $2$
  • Από (3,4) επιλέγουμε $3$

  Άρα το μικρότερο δυνατό άθροισμα για ένα γωνιακό ζάρι είναι: $$1+2+3=6$$

  Έχουμε 8 γωνιακά ζάρια, το καθένα με άθροισμα 6: $$6\times 8 =48\qquad \square$$

  2026.03.29

• Πρόβλημα Λογικής

  Για πόσους φυσικούς αριθμούς \(m\) υπάρχει τουλάχιστον ένας φυσικός \(n\) τέτοιος ώστε $$m\cdot n\leq m+n$$

  1. 0
  2. 55
  3. 2356
  4. 1036
  5. Τίποτα από τα προηγούμενα

  Απάντηση: Σωστό το Ε. Για οποιονδήποτε φυσικό \(m\) υπάρχει ο \(n=1\) έτσι ώστε $$m\leq m+1\qquad \square$$

  2026.03.29