Κατηγορία: Θέματα Προτύπων και Ωνασείων Σχολείων

• Υπολογίστε τη περίμετρο

  Πέντε ορθογώνια με ίσες διαστάσεις και εμβαδόν 8 τετραγωνικές μονάδες το καθένα, είναι τοποθετημένα σε ένα μεγαλύτερο ορθογώνιο όπως δείχνει το σχήμα 1.

  

  Τότε η περίμετρος του μεγάλου τετραγώνου είναι:

  1. 18
  2. 26
  3. 22
  4. 28
  5. 20

  (Υπόδειξη: Αν x και y οι διαστάσεις ενός μικρού ορθογωνίου τότε $x\cdot y =8$. Επίσης, το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου είναι .

  

  Άρα,

  $$\begin{array}{lll} (2x)(2y+x)= 40&\Leftrightarrow& 2xy+x^2=20\\ &\Leftrightarrow& 2\cdot 8 +x^2=20\\ &\Leftrightarrow& x^2=4\\ &\Leftrightarrow & x=2 \end{array}$$

  Επομένως, η περίμετρος είναι $4+4+2+4+4+4+2+4=28$ τετ. μονάδες. $\blacksquare$

  2026.03.11

• Σχεδόν Εγγεγραμμένο (Δύσκολο)

  Δίνεται ΑΒΓΔ τετράγωνο πλευράς a, to AHZE είναι ορθογώνιο με την κορυφή Ε να είναι σημείο της ΔΓ και η κορυφή Β σημείο της ΗΖ. Αν ΑΕ=b, ποιο είναι το μήκος της ΕΖ;

  

  1. $\frac{b}{a}$
  2. $\frac{3a^2}{2b}$
  3. $\frac{4a^2}{3b}$
  4. $\frac{\sqrt{2}\cdot a}{b}$
  5. $\frac{a^2}{b}$

  (Υπόδειξη: Tα τρίγωνα (ΔΑΒ), (ΑΕΒ) και (ΑΖΕ) είναι ισεμβαδικά επειδή έχουν ανά δύο ίσες βάσεις και ύψη.

  

  Τότε:

  $$\begin{array}{lll} a^2 &=& (AB\Gamma\Delta)\\ &=& 2\cdot (AB\Delta)\\ &=& 2\cdot (AEZ)\\ &=& (AEZH)\\ &=& EZ\cdot b \end{array}$$

  Άρα, $EZ=\frac{a^2}{b}.$ Σωστό το C. $\blacksquare$

  2026.03.11

• Εύρεση Διαφοράς 1

  Δοθέντος ότι $\displaystyle{\sqrt{2x+y}+\sqrt{x^2-9}=0}$, τότε η διαφορά $y-x$ είναι:

  1. -9
  2. -6
  3. -9 ή 9
  4. -3 ή 3
  5. Τίποτα από τα προηγούμενα

  Πρέπει $\sqrt{2x+y}=\sqrt{x^2-9}=0 \Leftrightarrow x=\pm 3, y=\mp 6,\ y-x = \pm 9.$ Σωστό το C $\blacksquare$

  2026.03.11

• Αντανάκλαση ρολογιού

  

  Στο παράδειγμα δίπλα, βλέπουμε ένα ρολόι και την αντανάκλασή του σε έναν καθρέπτη. Μπορούμε να διαβάσουμε 9:10 η ώρα στο ρολόι ενώ η εικόνα του δείχνει 2:50 η ώρα, που δίνει μια διαφορά 5 ωρών και 40 λεπτών.
  Ποια ώρα (του κανονικού ρολογιού) διαφέρει με αυτή της εικόνας του στον καθρέπτη κατά 3 ώρες?

  2026.03.02

• Αριθμός χωρίων

  

  Σε ένα ορθογώνιο τετράπλευρο μια ευθεία γραμμή ΑΒ το χωρίζει σε δύο χωρία. Ποιος μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος αριθμός χωρίων που μπορεί να σχηματίσουν 4 ευθείες που τέμνουν το ορθογώνιο?

  2026.03.02

• Εύρεση κρυμμένου ψηφίου

  Ο αριθμός A87563B είναι ένας επταψήφιος αριθμός στον οποίο τα A και B είναι ψηφία, διαφορετικά μεταξύ τους. Ο αριθμός διαιρείται με το 11 και επίσης με το 8. Ποιο ψηφίο αντιπροσωπεύει το A?

  Υπόδειξη:

  1. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν και μόνο αν η εναλλασσόμενη διαφορά των ψηφίων του (από αριστερά προς τα δεξιά) είναι πολλαπλάσιο του 11 (0, -11, 11, -22, 22, …). Δηλαδή:
     • Αρίθμησε τα ψηφία από αριστερά (1η, 2η, 3η, …).
     • Άθροισε τα ψηφία στις περιττές θέσεις (1η, 3η, 5η, …).
     • Άθροισε τα ψηφία στις άρτιες θέσεις (2η, 4η, 6η, …).
     • Υπολόγισε τη διαφορά: (‘Aθροισμα περιττών θέσεων) – (‘Aθροισμα άρτιων θέσεων).
     • Αν η διαφορά είναι 0 ή -11, 11, -22, 22, … τότε ο αριθμός διαιρείται με το 11.

  Για παράδειγμα ο 7282 διαιρείται με το 11.
  Άρτιες θέσεις: 2+2=4.
  Περιττές θέσεις: 7+8=15.
  Διαφορά: 15-4=11 πολλαπλάσιο του 11.

  2. Ένας αριθμός διαιρείται με το 8 αν και μόνο αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8.

  Για παράδειγμα: Ο 123456 διαιρείται με το 8. Τα τρία τελευταία ψηφία είναι 456 και $456\div 8 = 57$.

  2026.03.02

• Περιοχές με δείκτες ρολογιού

  

  Στην άσκηση μας ενδιαφέρει η μικρότερη περιοχή (χρωματισμένη) του κυκλικού δίσκου που ορίζεται από τους δύο δείκτες ενός ρολογιού, όπως στα παραδείγματα παραπάνω. Ποιο κλάσμα του ρολογιού αντιπροσωπεύει το χρωματισμένο μέρος όταν είναι:

  • 5 ώρα?
  • 8 ώρα?
  • 4 ώρα και 30 πρώτα λεπτά?

  2026.03.02

• Συμπληρώνω τα κενά

  Ένα παράδειγμα πολλαπλασιασμού φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

  

  Κάθε γράμμα αντιπροσωπεύει διαφορετικό αριθμό και τα κενά στις τελείες δεν περιέχουν το 0. Ποιά είναι τα ψηφία στις θέσεις Α, Β και Γ?

  2026.02.27

• Μέθοδος Πλέγματος

  Θα δούμε μια μέθοδο πολλαπλασιασμού που δεν χρησιμοποιείται πλέον. Η μέθοδος εμφανίζεται στο βιβλίο του Fibonacci (Λεονάρντο της Πίζας) Liber Abaci (1202), όπου παρουσιάζει διάφορους τρόπους εκτέλεσης πράξεων με ινδο-αραβικούς αριθμούς. Eίναι μια παραστατική μέθοδος πολλαπλασιασμού που βασίζεται σε διαγώνια διάταξη των αριθμών μέσα σε ένα πλέγμα. Ονομάζεται πολλαπλασιασμός με γρίλιες επειδή η διάταξη των τετραγώνων και των διαγωνίων θυμίζει παντζούρια ή γρίλιες, παραθύρων.

  Η τεχνική αυτή ήταν πρόδρομος της μεταγενέστερης μεθόδου πλέγματος (lattice multiplication), που χρησιμοποιήθηκε ευρέως στη μεσαιωνική Ευρώπη και αργότερα στη διδασκαλία των μαθηματικών.

  Εδώ βλέπουμε πως βρίσκει το γινόμενο 4285*24

  

  1. Να εξηγήσεις την μέθοδο.
  2. Χρησιμοποίησε τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού με γρίλιες για βρεις το γινόμενο 93*25.

  2026.02.27

• Επικάλυψη λίμνης

  

  Ένα νούφαρο διπλασιάζεται κάθε μέρα¹. Καλύπτει τη λίμνη σε 48 μέρες. Πότε ήταν μισοκαλυμμένη (η λίμνη φυσικά)?

  1. Το πρόβλημα αυτό, έχει ειδικά χαρακτηριστικά. Λέγονται προβλήματα γνωστικών παγίδων (cognitive reflection problems). Ο Kahneman τα χρησιμοποιεί για να δείξει τη διάκριση:
     Σύστημα 1: γρήγορο, διαισθητικό, αυτόματο
     Σύστημα 2: αργό, αναλυτικό, λογικό
     
     Δείτε το βιβλίο: Kahneman Daniel, 2011, Thinking, Fast and Slow, ed. Farrar, Straus and Giroux. ↩︎

  2026.02.27