Κατά τη μελέτη των μαθηματικών στο σχολείο αφιερώνεται πολύς χρόνος στην επίλυση εξισώσεων και συστημάτων εξισώσεων. Η μελέτη επίλυσης είναι σταδιακή, εξισώσεις 1ου βαθμού για την πρωτοβάθμια εκπ/ση, εξισώσεις 2ου βαθμού και εξισώσεις γενικά που ανάγονται σε δευτέρου βαθμού για την δευτεροβάθμια και 3ου βαθμού και άνω για την τριτοβάθμια. Επίσης, ο μαθητής στην δευτεροβάθμια εκπ/ση εξοικειώνεται με τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις.
Δεν είναι τυχαίο που δίνεται τόση προσοχή στην επίλυση εξισώσεων. Ο λόγος είναι η σημασία των εξισώσεων στις πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών. Σε όποιο πεδίο εφαρμογής και αν επιλέξετε, θα πρέπει να λύσετε εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων για να καταλήξουν στην τελική απάντηση. Αλλά και στο σχολείο, οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας. Για παράδειγμα:
Παραδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ευθ. τμήμα \(AB\) μήκους \(a\). Το πρόβλημα της εύρεσης σημείου \(\Gamma\) στο εσωτερικό του \(AB\) έτσι ώστε να χωρίζει το \(AB\) σε μέσο και άκρο λόγο, είναι ένα πρόβλημα που ανάγεται σε όλα σχεδόν τα εγχειρίδια της γεωμετρίας στην επίλυση μιας εξίσωσης. Αν \(A\Gamma = x < a\) τότε η σχέση μέσου και άκρου λόγου μας δίνει την εξίσωση: $$\displaystyle{\frac{AB}{A\Gamma}=\frac{A\Gamma}{AB-A\Gamma}\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{x}{a-x}\Leftrightarrow x^2+a\cdot x-a^2=0}$$ η λύση της οποίας μας δίνει τη θέση του σημείου \(\Gamma\) στο εσωτερικό του \(AB\). \(\square\)
Πολλά προβλήματα της Φυσικής επίσης ανάγονται στην εξίσωση μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα:
Ζητάμε να υπολογίσουμε το βάθος ενός πηγαδιού. Για να το πετύχουμε κάνουμε το εξής: ρίχνουμε μια πέτρα και μετράμε τον χρόνο \(t \sec\) από τη στιγμή που φεύγει από τα χέρια μας (η πέτρα) έως να φτάσει ο ήχος της πέτρας που χτυπά στην επιφάνεια του νερού. Να γράψετε ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος. Αν συμβολίσουμε με \(x\) το βάθος του πηγαδιού, τότε η πέτρα θα διανύσει το βάθος του πηγαδιού σε χρόνο \(t_1 =\sqrt{\frac{2x}{g}}\) και ο ήχος της πτώσης της πέτρας στο νερό θα κάνει \(t_2 =\frac{x}{v}\) δευτερόλεπτα να επιστρέψει στην επιφάνεια, όπου \(v\) είναι η ταχύτητα του ήχου. ‘Αρα, ο χρόνος \(t\) που μετρήσαμε είναι το άθροισμα $$t=t_1+t_2=\sqrt{\frac{2x}{g}}+\frac{x}{v}$$ Για να βρούμε λοιπόν το \(x\), σύμφωνα με τα εγχειρίδια της ‘Αλγεβρας, θα αντικαταστήσουμε \(y := \sqrt{x}\) και θα αναγάγουμε την εξίσωση στην δευτεροβάθμια εξίσωση: $$y^2\cdot \frac{1}{2}+y\cdot \sqrt{\frac{2}{g}}-t=0$$ Ωστόσο στη φυσική έχουμε προβλήματα που καταλήγουν σε πολύπλοκες εξισώσεις των οποίων η λύση δεν μπορεί να βρεθεί ούτε στα σχολικά αλλά ούτε και στα πανεπιστημιακά μαθηματικά, με την ευκολία που λύσαμε την δευτροβάθμια εξίσωση. Για παράδειγμα: Πάρτε μια σιδερένια μπάρα σταθεροποιήστε τα δύο άκρα της και χτυπήστε την μπάρα. Τότε παράγονται εγκάρσιες ταλαντώσεις των οποίων η συχνότητα \(x\) δίνεται από την εξίσωση:
Στο σχολείο δεν δίνονται κανόνες για τη λύση τέτοιων πολύπλοκων εξισώσεων. Μην νομίζετε ότι αυτό οφείλεται στη φιλοσοφία του σχολικού προγράμματος των μαθηματικών! Δεν υπάρχει καθόλου τύπος για τη λύση της παραπάνω εξίσωσης με την έννοια που συνήθως αυτή γίνεται αποδεκτή στην βασική εκπαίδευση. Ας δούμε όμως ακριβέστερα αυτή τη τελευταία διαπύστωση. \(\square\)
Λέμε ότι μια εξίσωση \(f(x) = 0\) έχει λύση που δίνεται από έναν τύπο, αν αυτή μπορεί να εκφραστεί σε όρους των συντελεστών της εξίσωσης με τη βοήθεια αλγεβρικών τελεστών, ρίζες, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Έτσι για παράδειγμα, είδαμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση \(ax^2 + bx + c = 0,\ a\neq 0\) έχει ρίζες $$x_{1,2}=\displaystyle{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$ Τέτοιους τύπους ριζών μπορούμε να βρούμε και σε εξισώσεις 3ου βαθμού, \(ax^3+bx^2+cx+d=0,\ a\neq 0\). Αντικαθιστώντας το \(x := y – \frac{b}{3a}\) η εξίσωση ανάγεται στη μορφή \(x^3 + px + q = 0\) με ρίζα: $$\displaystyle{x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$$ Ο τελευταίος τύπος απαιτεί χρήση μιγαδικών αριθμών. Η κατάσταση για τις εξισώσεις βαθμού 4ου βαθμού είναι πολύπλοκη, δεν θα ασχοληθούμε, αλλά για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλυτέρου του 5ου δεν υπάρχει τύπος που να δίνει τις ρίζες της εξίσωσης $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0=0,\ a_n\neq 0,\ n\leq5$$ Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα της θεωρίας του Abel το 1826.
Σήμερα, έχουμε αλγεβρικούς αλγορίθμους που μπορούμε να βρούμε όλες τις ρίζες πολυωνύμων οποιουδήποτε βαθμού. Οι αλγόριθμοι αυτοί είναι γενικευμένοι, μπορούν να εφαρμοσθούν σε οποιοδήποτε κλειστό σώμα αρχιμήδειο ή όχι. Για λόγους πολυπλοκότητας και αποτελεσματικότητας χρησιμοποιούμε συνδυασμούς αλγεβρικού και προσεγγιστικού υπολογισμού ανα περίπτωση. Άλλωστε, Αλγεβρικοί υπολογισμοί δεν μπορεί να λύσουν εξισώσεις της μορφής (1.1). Στις περιπτώσεις αυτές προσεγγίζουμε τη ρίζα με τις μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης.
ΙΙ. Η μέθοδος των Διαδοχικών Προσεγγίσεων
Οι περισσότερες μέθοδοι προσεγγιστικών λύσεων εξισώσεων βασίζονται στην ιδέα των διαδοχικών προσεγγίσεων. Αυτή η ιδέα χρησιμοποιείται όχι μόνο για την επίλυση εξισώσεων, αλλά και για την επίλυση ορισμένων πρακτικών προβλημάτων. Για να δώσουμε έναν γρήγορο χαρακτηρισμό θα λέγαμε ότι πρόκειται για μια μέθοδο δοκιμής και λάθους. Χρησιμοποιείται επίσης στο στρατό από τους πυροβολητές. Προκειμένου να χτυπήσουν έναν στόχο Α, βάζουν την κλίμακα του αζιμουθίου σε ένα στόχο Β πλησίον του Α και πυροβολούν. Εάν ο στόχος Α χαθεί κερδίσαν αν όχι ρυθμίζουν τη κλίμακα του αζιμουθίου και του σκοπευτικού σύμφωνα με την παρατηρούμενη θέση της έκρηξης του οβίδας και εκτοξεύεται η επόμενη. Μετά από πολλές προσεγγίσεις μπορούν να ρυθμίσουν την κλίμακα του αζιμουθίου έτσι ώστε να χτυπήσουν τον στόχο Α. Το πυροβολικό, στις μέρες μου, δεν ήταν και πολύ αξιόπιστο όπλο!
Για να δούμε το πρώτο παράδειγμα από την αρχαιότητα. Πρόκειται για το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας.
Παράδοξο του Ζήνωνα
Το παράδοξο διατυπώθηκε από τον Ζήνωνα τον Ελεάτη το 500 π.Χ. Με το παράδοξο αυτό ο Ζήνων καταλήγει στο ότι η κίνηση είναι αδύνατη, πράγμα αδύνατο. Λέει το εξής: Ο Αχιλλέας και η χελώνα έχουν μια απόσταση 1000 μέτρων, η χελώνα είναι πιο μπροστά από τον Αχιλλέα. Ο Αχιλλέας σε 1 δευτερόλεπτο διανύει 10 μέτρα και η χελώνα στον ίδιο χρόνο διανύει 1 μέτρο. Σε 100 δευτερόλεπτα ο Αχιλλέας θα διανύσει 1000 μέτρα αλλά η χελώνα θα είναι μπροστά 100 μέτρα. Σε 10 δευτερόλεπτα ο Αχιλλέας θα διανύσει 100 μέτρα ενώ η χελώνα πάλι θα είναι μπροστά 10 μέτρα κ.ο.κ. Με αυτή τη συλλογιστική ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.
Κάθε μαθητής χωρίς δυσκολία μπορεί να υπολογίσει τον χρόνο που θα κάνει ο Αχιλλέας για να φτάσει τη χελώνα. Αν υποθέσουμε ότι ο χρόνος αυτός είναι \(x\) sec, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τον χρόνο αυτόν λύνοντας την παρακάτω εξίσωση: $$10\cdot x-x=1000\Leftrightarrow x=\frac{1000}{9}=111\frac{1}{9}\sec$$ Ωστόσο μπορούμε να δούμε τη παραδοξότητα του Ζήνωνα αν προσεγγίσουμε τη λύση αυτής της εξίσωσης. Διαιρούμε κατά μέλη την προηγούμενη εξίσωση με 10: \begin{equation} x=100+\frac{x}{10}\qquad (2.1) \end{equation} Ο όρος \(\displaystyle{\frac{x}{10}}\) στην εξίσωση (2.1) είναι μικρός σχετικά με τον \(x\) και θα μπορούσαμε να δώσουμε σαν μια πρώτη προσέγγιση της λύσης \(x_1 = 100\). Αντικαθιστούμε \(x := x_1\) στην εξίσωση (2.1), θα πάρουμε \(x_2 = 100+10 = 110\). Συνεχίζοντας: $$\begin{array}{lcl} x_3&=&100+\displaystyle{\frac{x_2}{10}=100+11=111},\\ x_4&=&100+\displaystyle{\frac{x_3}{10}=100+11.1=111.1},\ \dots ,\\ x_n&=&111.1111\dots \end{array}$$ Γενικά, μπορούμε να γράψουμε την ακολουθία των διαδοχικών προσεγγίσεων: $$x_{n+1}=100+\frac{x_n}{10},\ x_0=100$$ Καθώς λοιπόν το \(n\) αυξάνεται η προσεγγιστική ρίζα ταυτίζεται με αυτήν που βρήκαμε λύνοντας την αλγεβρική εξίσωση: $$x\mapsto 111\frac{1}{9}$$ Άρα, η επιλογή που κάναμε στην αρχή είναι επιτυχής γιατί ο όρος \(\displaystyle{\frac{x}{10}}\) είναι σχετικά μικρότερος σε σύγκριση με τον \(x\). Αν δεν έχουμε αυτή την εκτίμηση από την αρχή, η μέθοδος της προσέγγισής μας δεν είναι αποτελεσματική. Ας δούμε το επόμενο παράδειγμα.
Θεωρείστε στο προηγούμενο παράδοξο ότι στη θέση της χελώνας έχουμε μια αντιλόπη η οποία σε 1 δευτερόλεπτο διανύει 30 μέτρα. Ας υποθέσουμε επίσης ότι η απόσταση του Αχιλλέα – αντιλόπη είναι 1000 μέτρα. Σύμφωνα με το προηγούμενο, αν \(x\) είναι ο χρόνος μέσα στον οποίο o Αχιλλέας θα φτάσει την αντιλόπη, θα δίνεται από την εξίσωση \begin{equation} 10x-30x=1000\qquad (2.2) \end{equation} Η λύση της εξίσωσης είναι \(x =-50\). Το οποίο σημαίνει ότι ο Αχιλλέας έφτασε την αντιλόπη πριν 50 δευτερόλεπτα(!) αλλά τώρα η αντιλόπη κερδίζει έδαφος χρόνο με τον χρόνο. Αν προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση (2.2) με προσέγγιση θα μεταφέρουμε το \(30x\) στο δεύτερο μέλος και θα διαιρέσουμε με 10. \begin{equation} x=100+30x\qquad (2.3) \end{equation} Θέτουμε \(x_0 = 0\) και θα πάρουμε την ακολουθία λύσεων: $$x_0 = 0,\ x_1 = 100,\ x_2 = 400,\ x_3 = 1300,\ x_4 = 4000, . . .$$ Προφανώς όλες αυτές οι τιμές δεν προσεγγίζουν την τιμή \(x = -50\) που είναι ρίζα της εξίσωσης (2.2). \(\blacksquare\)
III. Εύρεση του αριθμού των πραγματικών ριζών Πολυωνυμικής Εξίσωσης
Το Θ. του Bolzano και το Θ. Ενδιαμέσων Τιμών
Με τo Θεώρημα του Bolzano και με το Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών, γενικότερα, μπορούμε να έχουμε μια πρώτη εικόνα της διαδικασίας της προσέγγισης ενός μαθηματικού αντικειμένου. Ωστόσο, δεν πρέπει να παραβλέψουμε τη γεωμετρική προέκταση και ενόραση του θεωρήματος, που είναι απλή και κατανοητή, όπως και στο ολοκλήρωμα Riemann αργότερα, και είναι καλό να την εκμεταλλευτείτε στο μαθηματικό σας curricullum.
Με το θεώρημα αυτό μπορούμε να θίξουμε μια πλευρά του θεμελιώδους χαρακτηριστικού της Ανάλυσης που είναι η προσέγγιση, ενώ η ‘Αλγεβρα θα χρειαστεί το θεώρημα για να προσδιορίσει κυρίως τον αριθμό των πραγματικών ριζών μιας εξίσωσης. Το θεώρημα καταλήγει σε έναν αλγόριθμο που από μόνος του είναι αδύναμος και αναποτελεσματικός σε πολλές δύσκολες περιπτώσεις.
Σήμερα διαθέτουμε ισχυρότατους και αποτελεσματικότερους αλγεβρικούς αλγορίθμους που βρίσκουν τις πραγματικές ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων1, ωστόσο η τοπολογική σχέση μεταξύ εναλλαγής προσήμων και αριθμού ριζών παραμένει στο προσκήνιο.
Το θεώρημα δινόταν στην αρχή γραφικά, χωρίς αυστηρή απόδειξη. Η πρώτη απόπειρα απόδειξης έγινε από τον Bolzano και από τότε φέρει το όνομά του.
Θεώρημα Bolzano: Έστω συνάρτηση \(f\) ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα \([a,b ]\). Αν 1) η \(f\) είναι συνεχής στο \([a,b ]\) και ισχύει 2) \(f(a)\cdot f(b )<0\) τότε υπάρχει, ένα τουλάχιστον, \(\xi\in (a,b)\) τέτοιο ώστε \(f(\xi)=0\).
Ας υποθέσουμε ότι \(f(a )<0\) και \(f(b )>0\). Θα δούμε τώρα πως καταλαβαίνει τη ρίζα της εξίσωσης \(f(x)=0\) η ανάλυση. H τιμή του \(\xi\) θα είναι το supremum του συνόλου $$X={x\in[a ,b ]/f(x)<0}$$ Πράγματι, από το θεώρημα πληρότητας στο σώμα \(\mathbb{R}\), το σύνολο \(X\) είναι μη μηδενικό, αφού \(a\in X\), και είναι επίσης φραγμένο από τον αριθμό \(b\). Άρα έχει ένα supremum, έστω το \(\xi=\sup\ X\). Τότε \(a <\xi< b\). Η απόδειξη επικεντρώνεται στο να δείξει ότι \(f(\xi )=0\). Φυσικά δεν είναι κατασκευαστική απόδειξη! Δεν κατασκευάζει ένα τέτοιο \(\xi\). \(\blacksquare\)
To παρακάτω θεώρημα λέει ακριβώς το ίδιο αλλά θα μας είναι χρησιμότερο:
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: Έστω μια συνάρτηση \(f\), η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα \([a, b]\). Αν: 1) η \(f\) είναι συνεχής στο \([a,b ]\) και 2) \(f(a )\not = f(b )\), τότε για κάθε αριθμό \(\eta\) μεταξύ των \(f(a )\) και \(f(b )\) υπάρχει \(x_0\in (a, b )\) τέτοιο ώστε: \(f(x_0)=\eta\).
Η απόδειξη του θεωρήματος είναι κατασκευαστική. Για τον λόγο αυτό είναι ενδιαφέρουσα. Θα χρησιμοποιήσουμε το επιχείρημα της διχοτομίας διαστήματος. Ας υποθέσουμε ότι \(f\) είναι μια συνάρτηση συνεχής στο \([a,b ]\) με \(f(a )<f(b )\) (ομοίως αν \(f(a)>f(b)\)). Κατασκευάζω δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών \(a_n\) και \(b_n\) ως εξής: Έστω \(x_1\) το μέσο του διαστήματος \([a,b ]\).
Αν \(f(x_1)<\eta\), τότε θέτω \(a_1=x_1\) και \(b_1=b_0=b\).
Αν \(f(x_1)\geq \eta\), τότε θέτω \(a_1=a_0=a\) και \(b_1=x_1\).
Και στις δύο περιπτώσεις \(f(a_1)\leq \eta \leq f(b_1)\) με \(b_1-a_1=\frac{b-a}{2}\). Αν \(f(a_1)=\eta\) ή \(f(b_1)=\eta\) σταματάμε, βρήκαμε το \(x_0\) του θεωρήματος, αλλοιώς συνεχίζουμε τη διαδικασία επαναλαμβάνοντας το ίδιο μοτίβο με \(x_2\) το μέσο του \([a_1,b_1]\).
1) Αν \(f(x_2)<\eta\), τότε θέτω \(a_2=x_2\) και \(b_2=b_1\). 2) Αν \(f(x_2)\geq \eta\), τότε θέτω \(a_2=a_1\) και \(b_2=x_2\).
Και στις δύο περιπτώσεις \(f(a_2)\leq \eta \leq f(b_2)\) με \(b_2-a_2=\frac{b-a}{4}\). Αν \(f(a_2)=\eta\) ή \(f(b_2)=\eta\) σταματάμε, βρήκαμε το \(x_0\) του θεωρήματος, αλλοιώς συνεχίζουμε τη διαδικασία επαναλαμβάνοντας το ίδιο μοτίβο με \(x_3\) το μέσο του \([a_2,b_2]\) κ.ο.κ.
Συνεχίζοντας τη διαδικασία θα πάρουμε μια ακολουθία διαστημάτων $$[a_0,b_0]\supset [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \dots$$ με \(b_n-a_n=\frac{b-a }{2^n}\) και δύο ακολουθίες \(a_n\) και \(b_n\) οι οποίες για \(n\rightarrow +\infty\) τείνουν στον ίδιο αριθμό \(x_0\). Βρήκαμε λοιπόν τον αριθμό \(x_0\) έτσι ώστε \(f(x_0)=\eta\). Το παραπάνω διάγραμμα δείχνει παραστατικά τη διαδικασία.\(\blacksquare\)
Το γεγονός ότι η απόδειξη του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών μοιάζει με την απόδειξη που γίνεται με το supremum του συνόλου \(\{x:f(x)<\eta\}\) είναι μια ένδειξη για το ότι όλες οι γνωστές αποδείξεις του θεωρήματος είναι τελικά βασισμένες στην ίδια και απλή διαισθητική ιδέα της προσέγγισης. Επομένως το σημαντικό είναι το πώς υπολογίζω τη ρίζα και όχι η τοπολογική αλλαγή προσήμου. Είναι ένα θεώρημα της Ανάλυσης και όχι της Τοπολογίας και έτσι πρέπει να προσεγγίζεται.
Είναι σημαντικό εδώ να δούμε πως παρουσίασαν τις αποδείξεις κυρίως δύο πρωτοπόροι της Ανάλυσης, οι Bolzano και Cauchy.
O Bolzano αναφέρει στην εισαγωγή του έργου του σχετικά με την απόδειξη του θεωρήματoς2
… Στην επιστήμη3, οι αποδείξεις δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να είναι απλές διαδικασίες ανάδειξης της αλήθειας, αλλά πρέπει να αποκαλυφθεί το αντικειμενικό θεμέλιο που διαθέτει η αλήθεια που πρόκειται να αποδειχθεί.
(αναφέρεται στο θεώρημα) … Ακόμη και αν η γεωμετρική αλήθεια στην οποία αναφερόμαστε εδώ είναι (όπως έχουμε ήδη πει) αυταπόδεικτη στον ύψιστο βαθμό και επομένως δεν χρειάζεται απόδειξη ως κατασκεύασμα αυταπόδεικτου, χρειάζεται ωστόσο μια θεμελίωση. Οι έννοιες από τις οποίες αποτελείται είναι εμφανώς τόσο πολύπλοκες ώστε δεν θα λέγαμε ότι ανήκει σε εκείνες τις απλές αλήθειες που ονομάζονται αρχές ή πρωταρχικές αλήθειες …..
Όπως φαίνεται απέχουμε πολύ από το να θεωρούμε ότι τα παραδείγματα και οι εφαρμογές είναι κάτι που θα μείωναν την τελειότητα μιας επιστημονικής έκθεσης. Απαιτούμε σταθερά μόνο το εξής: δεν θα προτείνουμε ποτέ παραδείγματα στη θέση των αποδείξεων δεν θα βασίσουμε ποτέ την ουσία του συμπεράσματος σε ακατάλληλα χρησιμοποιούμενες εκφράσεις της γλώσσας και στις δευτερεύουσες παραστάσεις. Ένα τέτοιο συμπέρασμα δεν θα ήταν έγκυρο μόλις αλλάζαμε έκφραση…
Αυτό που κρατάμε είναι η μαθηματική ποιότητα της νέας απόδειξης από τις προηγούμενες θεωρήσεις. Είναι κάτι που δίνει τη πραγματική διάσταση (και διδακτική επίσης) στην αντιμετώπιση του θεωρήματος. Αυτό όμως που απουσιάζει από το κείμενο του Bolzano για να έχουμε την πλήρη εικόνα των εννοιών πάνω στις οποίες εμβαθύνει την εξάρτηση του αποτελέσματος, είναι η δομή των πραγματικών αριθμών. O Bolzano το αισθάνεται και o φαύλος κύκλος των επιχειρημάτων του δείχνει λίγο πολύ αυτό το άγχος. Αν και επιχείρησε το 1830-34 να δώσει την θεμελίωση των πραγματικών αριθμών, δεν επικαιροποίησε την απόδειξη του θεωρήματος.
Το διαφορετικό του Θεωρήματος, στην μετά Bolzano εποχή, είναι ότι υποδεικνύει τη φύση των πραγματικών αριθμών σαν υπεύθυνη της ύπαρξης, ενώ το Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών μας δίνει μια κατασκευαστική διαδικασία διαδοχικών προσεγγίσεων για την σύλληψη αυτής της ρίζας.
Η άλλη ενδιαφέρουσα άποψη που θα μας απασχολήσει κατά την κατασκευή των αλγορίθμων είναι το πως ο Cauchy στο “Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, 1821″, αντιμετωπίζει το ίδιο θεώρημα, (NOTE III, σελίδα 460). Ο Cauchy χρησιμοποιεί τη συνέχεια σε διάστημα (δεν γνώριζε την απόδειξη του Bolzano), ενώ ο Bolzano τη συνέχεια σε σημείο. Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε τις σημειώσεις του Cauchy για να προσεγγίσουμε την έννοια της συνέχειας με δεκαδικούς αριθμούς, παραφράζοντας την κλασική έννοια της συνέχειας. Αυτό είναι ένα τεχνικό εργαλείο, χρήσιμο στην κατασκευή του αλγορίθμου.
3) Αλγόριθμοι(κατασκευή αλγορίθμων στην Python την ακολουθία Sturm)n και χρήση έτοιμων αλγορίθμων στο Maple – για την ακολουθία Sturm)
Δείτε τους αλγορίθμους Sturm – Habicht, Buchberger κλπ. Οι αλγόριθμοι αυτοί είναι γενικευμένοι τρέχουν πάνω σε πραγματικώς κλειστά σώματα και χρησιμοποιούν συνδιασμούς αλγεβρικών και συμβολικών μεθοδολογιών. ↩︎
Bernard Bolzano (trad. J. Sebestik), Demonstration purement analytique du theoreme : entre deux valeurs quelconques qui donnent deux resultats de signes opposes se trouve au moins une racine reelle de l’equation. [Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege], Revue d’ histoire des sciences, vol.17, no.2, 1964, p. 136 – 164. ↩︎
Από, Fédération Suisse des Jeux Mathématiques 2017-18, 320, finale suisse, prob. 16
Το πρόβλημα: Στον στόχο, ο κεντρικός δίσκος αξίζει 31 πόντους, o ενδιάμεσoς δίσκος 24 πόντους και ο εξωτερικός 13 πόντους. Προσδιορίστε1 τον μεγαλύτερο ακέραιο συνολικό αριθμό πόντων που είναι αδύνατο να επιτευχθεί2.
Υπολογισμός: H επίλυση του προβλήματος με τη βοήθεια ενός Η/Υ είναι πολύ απλή. Οι διαγωνιζόμενοι όμως δεν είχαν αυτή τη δυνατότητα. Αν αντιγράψτε τον κώδικα και τον τρέξετε σε ένα compiler (π.χ. εδώ compiler python), θα δείτε ότι αυτός δίνει τον αριθμό \(F(13,24,31) = 121\).
Python
deffind_largest_unreachable_sum(scores):
"""
Υπολογίζει τον μεγαλύτερο αριθμό (Αριθμός Frobenius) που δεν μπορεί να
δημιουργηθεί από το άθροισμα των αριθμών στη λίστα 'scores'.
Αυτή η υλοποίηση είναι αποδοτική για μικρά σύνολα αριθμών.
"""
# Ορίζουμε ένα όριο για την αναζήτηση. Πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο
# για να είμαστε σίγουροι ότι έχουμε βρει τον αριθμό. 250 είναι υπεραρκετό.
limit=250
# Δημιουργούμε μια λίστα boolean όπου θα σημειώνουμε τους αριθμούς που πετυχαίνουμε.
# Ξεκινάμε με όλους τους αριθμούς ως "False" (μη επιτεύξιμοι).
reachable=[False]*limit
# Το 0 είναι πάντα επιτεύξιμο (0 βολές).
reachable[0]=True
# Για κάθε αριθμό 'i' από το 1 μέχρι το όριό μας...
foriinrange(1,limit):
#...ελέγχουμε αν μπορούμε να τον φτάσουμε.
# Για κάθε πόντο στη λίστα μας...
forscoreinscores:
#...αν ο αριθμός 'i' είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πόντου,
# και αν ο αριθμός (i - score) ήταν ήδη επιτεύξιμος...
ifi>=scoreandreachable[i-score]:
#...τότε και ο 'i' είναι επιτεύξιμος.
reachable[i]=True
# Δεν χρειάζεται να ελέγξουμε τους υπόλοιπους πόντους, οπότε προχωράμε στον επόμενο 'i'.
break
# Τώρα, ψάχνουμε από το τέλος της λίστας προς την αρχή
# για να βρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό που παρέμεινε "False".
largest_unreachable=-1
foriinrange(limit-1,-1,-1):
ifnotreachable[i]:
largest_unreachable=i
break
returnlargest_unreachable
# Οι πόντοι από το πρόβλημα
points=[13,24,31]
result=find_largest_unreachable_sum(points)
print(f"Οι πόντοι είναι: {points}")
print(f"Ο μεγαλύτερος αριθμός που δεν μπορεί να επιτευχθεί είναι: {result}")
Για την εύρεση του αριθμού που ζητάει το πρόβλημα θα εφαρμόσουμε 2 εργαλεία: το θεώρημα Frobenius και τοn αλγόριθμο Rodserth.
Θεώρημα Frobenius: Όλα τα αθροίσματα \(ax+by+cz\), \(a,b,c,x,y,z\in\mathbb{N}\), \(MΚ\Delta(a,b,c)=1\), είναι πιθανά πάνω από έναν αριθμό F που ονομάζεται αριθμός Frobenius. \(\square\)
Εύρεση δείκτη \(n\). Υπολογισμός \(p_i\) και \(r_i\) με \(i=0\dots n\), έτσι ώστε \(r_{n+1}\leq 0<r_n\). Επίσης, \(p_{i+1}=p_iq_{i+1}-p_{i-1}\) με \(p_{-1}=0,\ p_0=1\). $$ar_i-s_ib+p_ic=0\Leftrightarrow r_i=\frac{s_ib-p_ic}{a}$$
Rødseth (1978)On a linear Diophantine problem of Frobenius Journal für die reine und angewandte Mathematik. Rødseth (1979)On a linear Diophantine problem of Frobenius II↩︎
“Ο θρύλος λέει ότι ο Sin Pan3, ένας Κινέζος γεωμέτρης της αρχαιότητας, ήθελε να ιδρύσει μια ακαδημία γεωμετρίας. Ζήτησε από τον αυτοκράτορα της εποχής να του παραχωρήσει ένα οικόπεδο για να χτίσει ένα κτίριο για τον σκοπό αυτό. Ο αυτοκράτορας, θέλοντας πρώτα να βεβαιωθεί ότι είχε να κάνει με έναν πραγματικό γεωμέτρη, απάντησε: «Έχω ένα κομμάτι γης σε σχήμα πενταγώνου. Έχω σημειώσει τα μέσα των πλευρών του με πέντε οριοθετικές πλάκες. Σχεδιάστε τα όρια αυτής της γης και θα είναι δική σας.”
Όπως σημειώνει στο τέλος ο συγγραφέας, “… Σκέφτηκα ότι θα μπορούσα να το χρησιμοποιήσω στο μάθημα γεωμετρίας μου με τους τριτοετείς προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές μου. Δεν ξέρω αν υπήρχε στην πραγματικότητα ο Sin Pan. Νομίζω ότι το άτομο που έθεσε αυτό το πρόβλημα ήθελε να δώσει λίγο πιο πικάντικο χαρακτήρα χτίζοντας αυτόν τον μύθο γύρω από αυτό. Και αυτό είναι σίγουρα καλό: προσελκύεις περισσότερο τους ανθρώπους όταν τους το παρουσιάζεις με αυτή τη μορφή μιας μικρής ιστορίας παρά με τον “στεγνό” τρόπο που κάνουμε συνήθως στα μαθηματικά! (Τουλάχιστον, αυτό έχω παρατηρήσει!)“
Κατασκευάστε ένα πολύγωνο n πλευρών δεδομένων των n μέσων σημείων των πλευρών, που συμβολίζονται με \(M_1, M_2,\dots, M_n\).
Υποθέτουμε στη συνέχεια ότι το \(n\) είναι περιττό (το αρχικό πρόβλημα στη περίπτωση αυτή αφορά ένα πεντάγωνο). Το πολύγωνο δεν είναι απαραίτητα κυρτό και μπορεί ακόμη και να αυτοτέμνεται.
Ο El Kacimi αποδεικνύει ότι η ακόλουθη κατασκευή δίνει τη μοναδική λύση στο πρόβλημα:
Έστω \(A_1\) οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο. Εκτελούμε \(n\) κεντρικές συμμετρίες ως εξής: Το \(A_2\) θα είναι η ανάκλαση του \(A_1\) με κέντρο το \(M_1\), το \(A_3\) η ανάκλαση του \(A_2\) με κέντρο το \(M_2\), και ούτω καθεξής, μέχρι το \(\Gamma_1\) που θα είναι η ανάκλαση του \(A_n\) με κέντρο το \(M_n\) (φαίνεται με μπλε χρώμα στο σχήμα). Φυσικά, αν από κάποιο θαύμα το \(\Gamma_1\) τύχει να συμπέσει με το \(A_1\), τα σημεία \(Α_1\) έως \(A_n\) παρέχουν τη λύση στο πρόβλημα, αλλά αυτό δεν θα συμβαίνει γενικά. Έτσι, ξαναρχίζουμε! Εκτελούμε μια άλλη σειρά κεντρικών συμμετριών: το \(\Gamma_2\) θα είναι η ανάκλαση του \(\Gamma_1\) με κέντρο το \(M_1\), το \(\Gamma_3\) η ανάκλαση του \(\Gamma_2\) με κέντρο το \(\Gamma_2\), και ούτω καθεξής (κόκκινα γράμματα στο Σχήμα 1), και αυτή τη φορά η ανάκλαση του \(\Gamma_n\) με κέντρο το \(M_n\) θα είναι πράγματι το \(A_1\)! Αυτό είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να αποδείξουμε.
Σχήμα 1
Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε τα σημεία \(K_1\) έως \(K_n\), τα αντίστοιχα μέσα σημεία των τμημάτων \(A_1\Gamma_1\) έως το \(A_n\Gamma_n\). Η λύση του προβλήματος είναι τότε το πολύγωνο \(K_1\dots K_n\) (πράσινη γραμμή στο σχήμα). Αυτό είναι το δεύτερο πράγμα που το άρθρο αποδεικνύει.
H επιλογή του σημείου αφετηρίας \(Α_1\) γίνεται ως εξής: κατασκευάζει το παραλληλόγραμμο \(M_1M_2M_3A\) και στη συνέχεια το παραλληλόγραμμο \(AM_6M_7A_1\). Αρχίζουμε τις κεντρικές συμμετρίες από το \(A_1\). Αποδεικνύει ότι το πολύγωνο \(K_1\dots K_n\) είναι μοναδικό.
Στο Σχήμα 2 βλέπετε την κατασκευή πενταγώνου. \(M_1, M_2,\dots, M_5\) είναι τα μέσα των πλευρών του ζητούμενου πενταγώνου \(Α_1, Α_2,\dots, Α_5\).
Σχήμα 2
Όταν το \(n\) είναι άρτιος, ο Kacimi αποδεικνύει την εξής βασική συνθήκη ύπαρξης του \(n\)-γώνου
Υπάρχουν άπειρα πολύγωνα που έχουν μέσα πλευρών τα σημεία \(M_1, M_2,\dots, M_n\). Στο Σχήμα 3 βλέπετε τρία τέτοια εξάπλευρα με μέσα πλευρών τα σημεία \(Μ_i\). Ένα αρχίζει από το σημείο \(A_1\) (κόκκινη γραμμή), το \(B_1\) (πράσινο εξάγωνο) και το σημείο \(\Gamma_1\) (μωβ εξάγωνο). H συνθήκη για την ύπαρξη των πολυγώνων στο συγκεκριμένο εξάγωνο είναι: $$\overrightarrow{M_1M_2}+\overrightarrow{M_3M_4} +\overrightarrow{M_5M_6}=\overrightarrow{0}$$ Η συνθήκη αυτή είναι μια γενίκευση της συνθήκης Varignon στο τετράπλευρο, δείτε παρακάτω.
Σχήμα 3
Στο τετράπλευρο τα μέσα των πλευρών \(M_1, M_2,Μ_3,Μ_4\) πρέπει να σχηματίζουν παραλληλόγραμμο, \(\overrightarrow{M_1M_2}+\overrightarrow{M_3M_4}=\overrightarrow{0}\), Σχήμα 4.
Σχήμα 4
Το αποτέλεσμα4 αυτό του Kacimi μπορούμε να το δούμε και μέσα από την γενική θεωρία της Αφινικής Γεωμετρίας. Ξεκινάμε από ένα σημείο \(X\) και εφαρμόζουμε κεντρικές συμμετρίες ως προς τις κορυφές \(M_1,M_2,\dots M_n\) ενός πολυγώνου. Η συμμετρία ως προς \(Q\) δίνεται από τον τύπο $$P\to 2Q-P$$ Αν εφαρμόσουμε διαδοχικά συμμετρίες ως προς \(M_1,M_2,\dots M_n\), το αρχικό σημείο \(X\) μετασχηματίζεται στο: $$Χ_k=2M_k-2M_{k-1}+2M_{k-2}+\dots + (-1)^{k-1}2M_1+(-1)^kX$$
Έστω ότι το πολύγωνο έχει περιττό αριθμό κορυφών \(n\). Η επαναληπτική διαδικασία μετά από \(n\) βήματα δίνει: $$Χ_x=2M_n-2M_{n-1}+\dots +2M_2+2M_1-X$$ Επειδή \(n\) περιττός, η σχέση καταλήγει στη μορφή: $$X_n=C-X$$ για κάποια σταθερά \(C\) που εξαρτάται μόνο από τις κορυφές \(M_i\).
Για να είναι η τροχιά κλειστή (δηλαδή \(X_n=X\) ), χρειάζεται: $$C-X=X \Rightarrow 2X=C\Rightarrow X=\frac{C}{2}$$ Άρα υπάρχει ακριβώς ένα σημείο \(X\) που οδηγεί σε κλειστή τροχιά μετά από \(n\) βήματα. Το σημείο αυτό δίνεται από τον τύπο: $$X=M_1+\overrightarrow{M_2M_3}+\overrightarrow{M_4M_5}+\dots +\overrightarrow{M_{n-1}M_n}$$
Συμπέρασμα για \(n\) περιττό: Η συνθήκη \(X_n=X\) έχει μοναδική λύση, επομένως υπάρχει ακριβώς ένα σημείο εκκίνησης που δίνει κλειστή τροχιά μετά από \(n\) συμμετρίες.
Έστω τώρα ότι ο αριθμός κορυφών \(n\) είναι άρτιος.
Στην περίπτωση αυτή, μετά από \(n\) βήματα, η έκφραση παίρνει τη μορφή: $$X_n=X+V$$ όπου \(V\) είναι ένα σταθερό διάνυσμα που εξαρτάται από τις κορυφές: $$V=2(M_n-M_{n-1}+M_{n-2}+\dots +M_2-M_1)$$ ή ισοδύναμα $$V=2\Big((M_2-M_1)+(M_4-M_3)+\dots + (M_n-M_{n-1})\Big)$$
Για να είναι η τροχιά κλειστή (δηλαδή \(X_n=X\). πρέπει \(V=0\). Η συνθήκη γράφεται: $$\overrightarrow{M_1M_2}+\overrightarrow{M_3M_4}+\dots +\overrightarrow{M_{n-1}M_n}=\overrightarrow{0}$$
Αν η παραπάνω συνθήκη ισχύει, τότε \(X_n=X\) για κάθε αρχικό σημείο \(X\). Δηλαδή όλες οι τροχιές είναι κλειστές (ανεξάρτητα από το σημείο εκκίνησης).
Το πρόβλημα είναι γνωστό. Δείτε επίσης: Yaglom Geometric transformations (volume 1, chapitre 1, problème 15). Επίσης, διδάχθηκε από τον M. Lionnet, καθηγητή στο Louis-le-Grand το 1844, και από τον ProuhetA., (Nouvelles Annales de Mathematiques, 1844, σ. 19), καθηγητή στην École Polytechnique. Έγιναν γνωστές από το έργο “Exercices de Géométrie” του FGM, προβλήματα 556, 1036 και 1049. Το πρόβλημα 556 είναι σύμφωνο με την κατασκευή του Prouhet A.↩︎
Προφανώς δεν μιλάμε για τετράπλευρα όπως το παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο, τον ρόμβο και το τετράγωνο, που μπορούν εύκολα να καλύψουν το επίπεδο με μεταφορά. Το τετράπλευρο εδώ είναι τυχαίο.
Ας θεωρήσουμε ένα τυχαίο τετράπλευρο ΑΒΓΔ όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε, αν περιστρέψουμε το ΑΒΓΔ κατά θετική φορά γύρω από τα μέσα των πλευρών του Ζ, Ε, Θ, Η κατά μπορούμε να πάρουμε μια πλακόστρωση του επιπέδου με αρχικό πλακίδιο το ΑΒΓΔ. Αυτό συμβαίνει γιατί το τετράπλευρο ZEΘΗ είναι παραλληλόγραμμο και ως γνωστό είναι δυνατόν ότι μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο με παραλληλόγραμμα. Επίσης, σε κάθε κορυφή εμφανίζονται όλες οι γωνίες του αρχικού τετραπλεύρου οι οποίες έχουν άθροισμα . Το τετράπλευρο μπορεί να είναι επίσης μη – κυρτό.
ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια ισομετρία του επιπέδου είναι ένας μετασχηματισμός του επιπέδου που διαφυλάσσει τις αποστάσεις και τα μέτρα των γωνιών. Αν Α, Β και Γ είναι δύο σημεία του επιπέδου και A’, B’ και Γ’ οι αντίστοιχες εικόνες μέσω ενός μετασχηματισμού των σημείων Α, Β και Γ, τότε ο μετασχηματισμός είναι ισομετρία αν
Παραδείγματα: Η μεταφορά, η στροφή και η αξoνική συμμετρία είναι ισομετρίες.
H μεταφορά γίνεται βάσει ενός διανύσματος . Η μεταφορά δεν έχει κανένα σημείο αμετάβλητο, δεν υπάρχει δηλαδή σημείο που να είναι η εικόνα του εαυτού του. H στροφή με κέντρο σημείο Ο και μια μη-μηδενική γωνία έχει μόνο ένα σταθερό σημείο, το κέντρο Ο. Η κεντρική συμμετρία με κέντρο το σημείο Ο είναι στροφή με κέντρο το Ο και γωνία . Η αξονική συμμετρία, αφήνει μόνο σταθερά σημεία τα σημεία που ανήκουν στον άξονα της συμμετρίας.
H συμμετρία και ολίσθηση είναι μετασχηματισμός που γίνεται με ένα άξονα συμμετρίας και ένα διάνυσμα μεταφοράς . Και αυτός ο μετασχηματισμός δεν έχει σταθερά σημεία εκτός αυτά του άξονα.
Η σύνθεση δύο μεταφορών με διαστήματα και είναι μεταφορά με διάνυσμα .
Η σύνθεση δυο αξονικών συμμετριών με τεμνόμενους άξονες είναι μια περιστροφή με κέντρο το σημείο τομής των αξόνων και γωνία το διπλάσιο της γωνίας των δύο αξόνων.
H σύνθεση δυο αξονικών συμμετριών με παράλληλους άξονες είναι μια μεταφορά με διάνυσμα μέτρου ίσο με το διπλάσιο της απόστασης των παραλλήλων.
H σύνθεση δύο κεντρικών συμμετριών με κέντρα O και O’ είναι μια μεταφορά με διάνυσμα μέτρου διπλάσιο της απόστασης ΟΟ’.
Tύποι Ισομετρίας
ΟΡΙΣΜΟΣ: Οι ισομετρίες κατατάσσονται σε δύο τύπους: τις θετικές ισομετρίες (ορθή φορά) και τις αρνητικές ισομετρίες (ανάστροφη φορά – κίνηση δεικτών ρολογιού). Η θετική ισομετρία αφήνει αμετάβλητες τις προσανατολισμένες γωνίες. Η αρνητική ισομετρία είναι μια ισομετρία που μετασχηματίζει τις προσανατολισμένες γωνίες σε αυτές αντιθέτου φοράς.
Παράδειγμα: Οι θετικές ισομετρίες είναι η μεταφορά και η στροφή. Οι αρνητικές ισομετρίες είναι η συμμετρία και η συμμετρία με ολίσθηση.
Πλακόστρωση του επιπέδου
ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια πλακόστρωση του επιπέδου είναι μια οικογένεια από πολύγωνα που τα λέμε πλακίδια, ή πλακάκια, που καλύπτουν όλο το επίπεδο χωρίς να αφήνουν τρύπες και το ένα πλακίδιο δεν επικαλύπτει το άλλο.
Πλακόστρωση με ισομετρικά πλακίδια
Είδαμε ότι δύο πλακίδια είναι ισομετρικά όταν είναι εικόνες μιας ισομετρίας.
ΟΡΙΣΜΟΣ: Οι πλακοστρώσεις με ισομετρικά πλακίδια είναι πλακοστρώσεις που κατασκευάζονται με τη χρήση ενός μόνου είδους πλακιδίου.
Μπορούμε να αποδείξουμε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε μια πλακόστρωση με ισομετρικά πλακίδια χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε τύπο τριγώνου, οποιοδήποτε τύπο κυρτού τετραπλεύρου και κάποιων πενταγώνων καθώς και τις πλακοστρώσεις τύπου Escher.
2) Ομάδες Ισομετριών
Υπάρχουν 17 ομάδες ισομετρικών μετασχηματισμών του ευκλειδείου επιπέδου. Πρώτος που κατέγραψε τις ομάδες είναι η Ρώσσος κρυσταλογράφος Fedorov του 1891. Η αφετηρία της θεωρίας της συμμετρίας είναι η έρευνα της δομής των κρυστάλλων. Η θεμελιώδης θεωρία της συμμετρίας βασίζεται πάνω στην θεωρία της ομάδας μετασχηματισμών. Ένα σύνολο ισομετρικών μετασχηματισμών εφαρμόζεται πάνω σε σύνολο γεωμετρικών σχημάτων. Μπορούμε να ορίσουμε μια πράξη μεταξύ των μετασχηματισμών: τη σύνθεση δύο μετασχηματισμών. Η σύνθεση ισομετρικών μετασχηματισμών είναι μια κλειστή πράξη, δηλαδή είναι επίσης ένας μετασχηματισμός, και είναι μεταθετική. Για κάθε μετασχηματισμό υπάρχει αντίστροφος δηλαδή αν ο μετασχηματισμός είναι η μεταφορά του Α στη θέση Β υπάρχει και η αντίθετη πράξη της μεταφοράς του Β στη θέση Α. Γενικά, αν και δύο ισομετρικοί μετασχηματισμοί τότε: 1) η σύνθεση ανήκει στην ομάδα και , 2) ο αντίστροφος ενός ισομετρικού μετασχηματισμού είναι επίσης ισομετρικός μετασχηματισμός της ομάδας.
Η πράξη της σύνθεσης έχει μια ιδιότητα, είναι προσεταιριστική: αν είναι ισομετρικοί μετασχηματισμοί της ομάδας τότε . Επίσης, αφού ο μετασχηματισμός ενός μετασχηματισμού είναι στοιχείο της ομάδας, τότε και ο ταυτοτικός μετασχηματισμός (η ακινησία δηλαδή) είναι στοιχείο της ομάδας.
Όπως θα δούμε παρακάτω, ας κάνουμε μια υπέρβαση, μια πλακόστρωση P θα είναι το γινόμενο της ελάχιστης επιφάνειας Μ επί την ομάδα ισομετρικών μετασχηματισμών G: . Άρα, μια ομάδα ισομετρικών μετασχηματισμών είναι το πηλίκο μιας πλακόστρωσης P διά της ελάχιστης επιφάνειας Μ!
Ας δούμε τους ισομετρικούς μετασχηματισμούς (μεταφορά, στροφή και αξονική συμμετρία) με την νέα ορολογία των ομάδων.
Σχήμα 1
Στο Σχήμα 1, βλέπουμε μια σύνδεση ισομετρικών μετασχηματισμών. Τ είναι μεταφορά του Α με διάνυσμα , S η αξονική συμμετρία, Ο είναι η στροφή με κέντρο το Ο και γωνία ορθή φορά, S’ είναι αξονική συμμετρία και R είναι η στροφή με κέντρο το R και γωνία ανάστροφα. Τότε,
Έχουμε ήδη πει ότι ότι η διαδοχή δύο αξονικών συμμετριών είναι είτε μια στροφή αν οι άξονες τέμνονται ή μια μεταφορά αν οι άξονες είναι παράλληλοι.
Η διαδοχή τριών αξονικών συμμετριών αλλάζει τον προσανατολισμό του αντικειμένου και είναι ισοδύναμη με μια αξονική συμμετρία και μια μεταφορά κατά ένα διάνυσμα ήτοι, η συμμετρία με ολίσθηση είναι τελικά ισοδυναμεί με δύο αξονικές συμμετρίες.
Τελικά: οι αξονικές συμμετρίες παράγουν όλες τις ισομετρίες του επιπέδου.
Οι 17 Ομάδες Μετασχηματισμού
Εδώ θα δουλέψουμε με το λογισμικό morenaments που βρίσκεται στην ιστοσελίδα:
To περιβάλλον του λογισμικού φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η οθόνη χωρίζεται ουσιαστικά σε τρία μέρη. Στο κεντρικό παράθυρο που είναι και το μεγαλύτερο και εκεί σχεδιάζεται η πλακόστρωση, δύο παράθυρα δεξιά εκ των οποίων το πάνω είναι η επιλογή της ομάδας μετασχηματισμού και το κάτω έχει το βασικό παραλληλόγραμμο που παράγουν τα δύο μεταφορές παραγόμενες από δύο ανεξάρτητα διανύσματα και το οποία μπορεί να επεκταθούν σε όλο το επίπεδο. Οι δύο κατευθύνσεις είναι οι γεννήτορες της υποομάδας μεταφορών. Στο παραλληλόγραμμο σχεδιάζουμε ένα στοιχειώδες μοτίβο που θα κατασκευάσει την πλακόστρωση με τη βοήθεια της στροφής ή συμμετρίας και/ή της μεταφοράς.
Για παράδειγμα: στο σχήμα βλέπουμε το μοτίβο του αριθμού 5 στο βασικό παραλληλόγραμμο με την ομάδα pg που περιέχει 2 μεταφορές και 2 αξονικές συμμετρίες με ολίσθηση παραλλήλων αξόνων.
Οι πρώτες ομάδες p1, p2, p3, p4 είναι άρτιες ισομετρίες δηλαδή τα στοιχεία τους παράγονται από μεταφορά ή στροφή, και είναι ομόρροπα με τα αρχικά. Υπάρχει και η περιττή ισομετρία που τα στοιχεία παράγονται από αξονική συμμετρία ή συμμετρία με ολίσθηση και είναι αντίρροπα με τα αρχικά.
Η Ομάδα p1
Η πρώτη ομάδα είναι στοιχειώδης και είναι η ομάδα μεταφορών.
Στο κάτω παράθυρο δεξιά βλέπουμε το βασικό παραλληλόγραμμο (με τις διευθύνσεις μεταφοράς που σχηματίζουν την υποομάδα μεταφορών) με το στοιχειώδες μοτίβο. Όπως στο σχήμα αν πάρουμε το βασικό παραλληλόγραμμο στις τρείς διαστάσεις μπορούμε να ταυτίσουμε τις απέναντι πλευρές και έτσι να παράγει το σχήμα του τόρου (ή λουκουμά).
Η ομάδα p1 έχει μόνο δύο οικογένειες μεταφορών, δεν περιέχει ούτε συμμετρίες ούτε στροφές, όπως δείχνουν οι διευθύνσεις του βασικού παραλληλογράμμου.
Η Ομάδα p2
H ομάδα αυτή έχει στοιχεία 2 μεταφορές και 4 στροφές κατά του βασικού σχήματος. Βλέπουμε το βασικό παραλληλόγραμμο, Σχήμα 2, και το στοιχειώδες μοτίβο να είναι αυτό στο Σχήμα 3. Η ομάδα p2 έχει τέσσερες ομάδες στροφής κατά που σημειώνονται πάνω στο πρώτο σχήμα με κύκλους, Σχήμα 3. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει τις στροφές με κέντρα τις κορυφές του παραλληλογράμμου, οι άλλες δύο ομάδες έχουν κέντρα στροφής τα μέσα των δύο απέναντι πλευρών και η τέταρτη το κέντρο του παραλληλογράμμου. Στο λογισμικό φαίνονται με τις τελείες.
Σχήμα 2Σχήμα 3Σχήμα 4: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p2.
Η Ομάδα p3
H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 3 διακεκριμένες οικογένειες στροφών κατά του βασικού σχήματος.
Σχήμα 5
Σαν βασικό σχήμα είναι ένας ρόμβος το 1/3 ενός κανονικού εξάγωνου. Τα κέντρα των 3 ομάδων στροφής είναι οι 6 κορυφές του εξάγωνου και το κέντρο του. Το στοιχειώδες μοτίβο (σε ένα ρόμβο) της πλακόστρωσης του λογισμικού φαίνεται στο παρακάτω αριστερό σχήμα μαζί με τη στροφή με κέντρο το κέντρο του εξάγωνου κατά γωνία .
Σχήμα 6Σχήμα 7: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p3.
Η Ομάδα p4
Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 2 οικογένειες στροφών κατά και 2 οικογένειες στροφών κατά του βασικού σχήματος. Δεν υπάρχουν συμμετρίες.
Σχήμα 8Σχήμα 9Σχήμα 10: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p4.
Η Ομάδα p6
Το βασικό σχήμα είναι ρόμβος. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 1 οικογένεια στροφής κατά , 2 οικογένειες στροφών κατά και 3 οικογένειες στροφής κατά .
Σχήμα 11Σχήμα 12Σχήμα 13: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p6.
Η Ομάδα pg
Το βασικό σχήμα είναι το τετράγωνο. To g υποδηλώνει την ύπαρξη αξόνων συμμετρίας με ολίσθηση. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση με παράλληλους άξονες.
Σχήμα 14
Πρόκειται για το στοιχειώδες μοτίβο στο ορθογώνιο του οποίου οι δύο αντικρυστές πλευρές ταυτίζονται μεταξύ τους με τρόπο ώστε ένα ζεύγος από αυτές ταυτίζονται κατά τρόπο κεφάλι – πόδια. Είναι δηλαδή μια φιάλη του Klein.
Σχήμα 15Σχήμα 16: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα
Ομάδα pgg
Το βασικό σχήμα είναι το ορθογώνιο. To gg υποδηλώνει την ύπαρξη δύο παραλλήλων αξόνων συμμετρίας με ολίσθηση. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση με παράλληλους άξονες και 4 οικογένειες στροφής .
Σχήμα 17
Πρόκειται για το στοιχειώδες μοτίβο στο ορθογώνιο που είναι το 1/4 του αρχικού. Στο σχήμα βλέπουμε τα σχήματα που παρήχθησαν από τις 2 οικογένειες συμμετρίας. Το ίδιο θα προκύψει και με τις στροφές γύρω από το κέντρο του βασικού τετραγώνου.
Σχήμα 18Σχήμα 19: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα pgg
Ομάδα pm
To γράμμα m υποδηλώνει την ύπαρξη αξόνων κατοπτρικής συμμετρίας. Το βασικό σχήμα είναι το ορθογώνιο. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 2 οικογένειες συμμετρίας με παράλληλους άξονες.
Σχήμα 20
Πρόκειται για ένα στοιχειώδες μοτίβο σε ορθογώνιο που είναι το 1/2 του αρχικού. Στο σχήμα βλέπουμε τα σχήματα που παρήχθησαν από τις 2 οικογένειες συμμετρίας. Το ίδιο θα προκύψει και με τις στροφές γύρω από το κέντρο του βασικού τετραγώνου.
Σχήμα 21Σχήμα 19: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα pm
H Ομάδα cm
Πρόκειται για ένα στοιχειώδες μοτίβο σε παραλληλόγραμμο. Επειδή η πλακόστρωση προκύπτει από την ταύτιση και αντιστροφή των απέναντι πλευρών, το πλακίδιο στη πλακόστρωση είναι ισοδύναμο με τον δακτύλιο του Moebius.
Σχήμα 20Σχήμα 21Σχήμα 22: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα cm
Ομάδα pmg
Το βασικό σχήμα είναι το ορθογώνιο. H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές και 4 οικογένειες στροφών κατά , 2 οικογένειες συμμετρίας παραλλήλων αξόνων και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση πάνω σε άξονες καθέτους στους προηγούμενους άξονες συμμετρίας. Τα κέντρα στροφής βρίσκονται στους άξονες συμμετρίας της συμμετρίας με ολίσθηση.
Σχήμα 23
Το στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στα αριστερά του παρακάτω Σχήματος 23.
Σχήμα 24Σχήμα 25: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα pmg
Ομάδα pmg
H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 4 οικογένειες αξονικής συμμετρίας ανά 2 με κάθετους άξονες και 4 οικογένειες στροφών κατά των οποίων τα κέντρα είναι τα σημεία τομής των αξόνων συμμετρίας.
Σχήμα 26
Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι το ορθογώνιο. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος.
Σχήμα 27Σχήμα 28: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα pmm
Ομάδα cmm
H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 2 οικογένειες αξονική συμμετρίας με κάθετους άξονες και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση με άξονες το τετράγωνο με κορυφές τα μέσα του αρχικού και 4 οικογένειες στροφής κατά των οποίων οι 3 είναι οι κορυφές του τετραγώνου/ρόμβου και 1 οι τομές των αξόνων συμμετρίας με ολίσθηση.
Σχήμα 29
Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι το τετράγωνο ή ο ρόμβος. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος.
Σχήμα 30Σχήμα 31: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα cmm
Ομάδα p4g
H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 2 οικογένειες αξονικής συμμετρίας ανά 2 με κάθετους άξονες και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση, οι τομές των αξόνων συμμετρίας και 2 οικογένειες στροφής κατά των οποίων τα κέντρα είναι οι κορυφές και το κέντρο του τετραγώνου.
Σχήμα 32
Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος.
Σχήμα 33Σχήμα 34: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p4g
Ομάδα p31m
Το πλέγμα (το σύστημα μεταφοράς) είναι εξαγωνικό (ή ρομβικό με γωνία ). Αυτό σημαίνει ότι το μοτίβο μπορεί να μεταφραστεί (να μετακινηθεί) προς δύο κατευθύνσεις που σχηματίζουν γωνία μεταξύ τους και το αποτέλεσμα να είναι πανομοιότυπο. H ομάδα αυτή περιέχει στροφές τάξης 3 (): Διαθέτει κέντρα περιστροφής . Αυτό σημαίνει ότι αν περιστρέψετε το μοτίβο κατά γύρω από ένα τέτοιο σημείο, θα ταυτιστεί με τον εαυτό του. Συμμετρίες: Υπάρχουν άξονες συμμετρίας. Στην p31m, αυτοί οι άξονες δεν είναι παράλληλοι με τις βασικές κατευθύνσεις του πλέγματος, αλλά σχηματίζουν γωνίες μεταξύ τους. Συμμετρίες με ολίσθηση: Συνδυασμός ανάκλασης και μεταφοράς (ολίσθησης) κατά μήκος του άξονα της συμμετρίας.
Σχήμα 35
Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος που είναι το τέταρτο ενός κανονικού εξαγώνου. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στο αριστερό σχήμα του παρακάτω Σχήματος 36.
Σχήμα 36Σχήμα 37: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p31m
Ομάδα p3m1
Η ομάδα περιέχει στροφές τάξης 3 ( ): Υπάρχουν κέντρα περιστροφής .
Συμμετρίες: Η ομάδα διαθέτει άξονες συμμετρίας, οι οποίοι σε αυτήν την ομάδα είναι παράλληλοι προς τις πλευρές του πλεγματικού κελιού (ή προς μία από τις βασικές κατευθύνσεις μεταφοράς). Συγκεκριμένα, οι άξονες ανάκλασης τέμνονται υπό γωνία . Συμμετρίες με ολίσθηση: Μπορεί να υπάρχουν και συμμετρίες ολίσθησης, ανάλογα με την ακριβή θέση των στοιχείων.
Η βασική διαφορά μεταξύ των δύο ομάδων p3m1 και p31m, έγκειται στη σχετική θέση των αξόνων συμμετρίας ως προς τα κέντρα περιστροφής:
Στην p3m1, όλοι οι άξονες συμμετρίας διέρχονται από τα κέντρα περιστροφής . Αν τοποθετήσετε ένα κέντρο περιστροφής, από αυτό θα περάσουν τρεις άξονες συμμετρίας, σχηματίζοντας γωνίες μεταξύ τους (σαν ακτίνες ενός αστεριού).
Στην p31m, οι άξονες συμμετρίας δεν διέρχονται από όλα τα κέντρα περιστροφής. Υπάρχουν κέντρα περιστροφής που βρίσκονται πάνω σε άξονες συμμετρίας, αλλά και άλλα που βρίσκονται ανάμεσα σε άξονες. Αυτό δημιουργεί ένα διαφορετικό μοτίβο.
Συνοπτικά: Η p3m1: Οι άξονες συμμετρίας περνάνε από τα κέντρα περιστροφής. Στην p31m: Οι άξονες συμμετρίας περνάνε ανάμεσα από τα κέντρα περιστροφής (ή μόνο από μερικά).
Σχήμα 38
Το βασικό παραλληλόγραμμο είναι εξαγωνικό (ή ρομβικό με γωνία ), ίδιο με της p31m. Η μοναδιαία κυψελίδα είναι ρόμβος με γωνία
Σχήμα 39Σχήμα 37: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p3m1
Ομάδα p4m
H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 4 οικογένειες αξονικής συμμετρίας με τους άξονες ανά δύο κάθετους (οριζόντια, κάθετα και διαγώνια), 2 οικογένειες στροφών (4ης τάξης), 2 οικογένειες στροφών κατά και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση.
Σχήμα 38
Το βασικό σχήμα είναι τετράγωνο. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στα αριστερά του παρακάτω Σχήματος 39.
Σχήμα 39Σχήμα 37: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p4m
Ομάδα p6m
H ομάδα αυτή περιέχει 2 μεταφορές, 6 οικογένειες συμμετρίας προς διαφορετικές διευθύνσεις, 1 οικογένεια κέντρων στροφής κατά , 2 οικογένειες στροφής κατά , 3 οικογένειες στροφής κατά και επί προσθέτως υπάρχουν 6 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση μεταξύ των αξόνων συμμετρίας. 4 οικογένειες αξονικής συμμετρίας με τους άξονες ανά δύο κάθετους (οριζόντια, κάθετα και διαγώνια), 2 οικογένειες στροφών , 2 οικογένειες στροφών κατά και 2 οικογένειες συμμετρίας με ολίσθηση.
Η p6m είναι μία από τις δύο ομάδες (μαζί με την p4m) που έχουν την υψηλότερη δυνατή συμμετρία για περιοδικά μοτίβα.
Σχήμα 38
Το βασικό είναι ο ρόμβος. Το δε στοιχειώδες μοτίβο φαίνεται στα αριστερά του παρακάτω Σχήματος 39.
Σχήμα 39Σχήμα 37: Ελεύθερο σχέδιο με την ομάδα p6m
Υπάρχει ένας ισχυρισμός στα μαθηματικά που φέρει το όνομα του Otto Toeplitz και λέει ότι:
Σε κάθε καμπύλη Jordan υπάρχουν τέσσερα σημεία που είναι κορυφές τετραγώνου.
Μια καμπύλη Jordan είναι μια απλή κλειστή καμπύλη στο πραγματικό επίπεδο, δείτε περισσότερα στο1. Προφανώς δεν θα μιλήσουμε για το πρόβλημα αυτό εδώ. Με αφορμή όμως του ισχυρισμού του Toeplitz θα δούμε τρία προβλήματα που σχετίζονται με την εγγραφή κανονικών πολυγώνων σε σχήματα ξεκινώντας από δύο προβλήματα του βιβλίου του Lemaire 2, τα οποία χρησιμοποιούν τη στροφή σαν κύρια μεθοδολογία.
Εγγραφή ισοπλεύρου τριγώνου σε τρεις παράλληλες ευθείες
Να εγγράψετε ισόπλευρο τρίγωνο ανάμεσα σε τρείς παράλληλες ευθείες , δείτε στο Lemaire G., πρόβλημα σελ. 121.
Ας υποθέσουμε ότι κατασκευάσαμε τρίγωνο ΑΒΓ ισόπλευρο με τις 3 κορυφές στις παράλληλες ευθείες όπως στο Σχήμα. Φέρω , και την στρέφω κατά , έστω η νέα θέση. Τότε, τα 2 τρίγωνα και είναι ίσα και το σημείο θα είναι η στροφή του κατά . To δε θα είναι η τομή της ευθείας που θα παραχθεί αν στρέψουμε την κατά με την ευθεία .
Η δε κατασκευή θα ακολουθεί την εξής διαδικασία:
Στρέφω την κατά , έστω . Ας υποθέσουμε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο .
Στρέφουμε το κατά . Τότε ΑΓ = ΑΒ και το τρίγωνο ΑΒΓ συνεπώς είναι ισόπλευρο. Μπορούμε να στρέψουμε την και κατά την αντίθετη φορά γύρω από το Α, θα πάρω επίσης ένα άλλο τρίγωνο.
Η κατασκευή είναι εφικτή πάντα.
Εγγραφή τετραγώνου σε παραλληλόγραμμο
Να εγγράψετε τετράγωνο σε δοθέντα παραλληλόγραμμο. Δείτε Lemaire, πρόβλημα σελ. 121.
Ας υποθέσουμε ότι σε δοθέν παραλληλόγραμμο ΟΣΤΓ έχουμε εγγράψει τετράγωνο . Προφανώς τα δύο τετράπλευρα έχουν το ίδιο κέντρο B. Φέρω τη κάθετη ΒΗ στην ΟΣ και σχηματίζω το τρίγωνο ΒΗΛ. Επειδή ΒΛ = ΒΝ, αν το τρίγωνο στραφεί κατά , θα πάρει μια νέα θέση ΒΘΝ, και η ΟΣ θα είναι μετά τη στροφή η και θα τμήσει την ΤΣ στο σημείο Ν, κ.ο.κ. Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να οδηγηθούμε στην κατασκευή περιστρέφοντας το αρχικό παραλληλόγραμμο ΟΣΤΓ κατά .
Αρκεί λοιπόν να στρέψουμε το αρχικό παραλληλόγραμμο ΟΣΤΓ κατά , οι τομές των πλευρών του αρχικού παραλληλογράμμου ΟΣΤΓ και του τελικού , θα μας δώσουν τις κορυφές του εγγεγραμμένου τετραγώνου. Οι τομές των πλευρών των δύο παραλληλογράμμων μπορεί να πραγματοποιούνται εξωτερικά στους φορείς των πλευρών και όχι πάντα στο εσωτερικό των πλευρών του αρχικού παραλληλογράμμου. Ειδικότερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η παρατήρηση του Lemaire να διερευνηθεί πότε η τομή αυτή είναι στο εσωτερικό των πλευρών. Ο συγγραφέας δεν δίνει απάντηση. Εδώ θα δώσουμε συνθήκες για το πότε η τέμνει την ΣΤ στο εσωτερικό της σημείο Ν.
Πρώτη συνθήκη
Θα υποθέσουμε ότι η γωνία είναι οξεία. Έστω L το μήκος του παραλληλογράμμου και το πλάτος του. Τότε αν ικανοποιείται η συνθήκη
το σημείο Ν είναι στο εσωτερικό [ΣΤ] της πλευράς ΣΤ.
Η συνθήκη εξαρτάται από τη γωνία που πρέπει να είναι οξεία. Παρακάτω, θα δούμε μια συνθήκη με αναλυτική γεωμετρία πλουσιότερη σε γεωμετρικά αποτελέσματα.
Δεύτερη συνθήκη
Το αρχικό παραλληλόγραμμο είναι το ΟΣΤΓ με Ο=(0,0) και η κορυφή Σ στον οριζόντιο άξονα ενός ορθοκανονικού συστήματος. Χάρη ευκολίας των πράξεων αριθμητικών και αλγεβρικών υποθέτουμε ότι το ύψος του παραλληλογράμμου ΟΔ, στο ορθοκανονικό σύστημα που δουλεύουμε, είναι ίσο με την μονάδα, ΟΔ = 1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε εγγράψει ένα τετράγωνο ΚΜΛΝ έτσι ώστε η κορυφή Ν να είναι στο εσωτερικό της πλευράς ΣΤ.
Σχήμα 1
H κορυφή Γ έχει συντεταγμένες . Το σημείο Μ έχει τεταγμένη και συντεταγμένες , από το θεώρημα Θαλή για τα όμοια τρίγωνα ΟΔΓ και ΟΞΜ. Επίσης:
που είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται η κορυφή Ν του τετραγώνου. Με άλλα λόγια ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Ν του εγγεγραμμένου τετραγώνου ΚΜΛΝ στο συγκεκριμένο παραλληλόγραμμο είναι η ευθεία , του Σχήματος 1.
Στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε με ακρίβεια τα όρια του γ.τ. του σημείου Ν πάνω στην ευθεία .
Σχήμα 2
Αν η κορυφή Μ πέσει πάνω στην κορυφή Γ, αυτό είναι μια οριακή θέση του τετραγώνου και το σημείο είναι το οριακό σημείο πάνω στην ευθεία , Σχήμα 2. Κινούμενο το Μ πάνω στην πλευρά ΟΓ, προς το σημείο Ο, η κορυφή Κ του τετραγώνου θα έρθει κοντά στην κορυφή Γ, Σχήμα 3.
Σχήμα 3
H κορυφή Ν θα πάει στην οριακή θέση . Στόχος μας είναι να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σημείο αυτού. Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει να κάνουμε κάποιους γεωμετρικούς υπολογισμούς. Θα δείξουμε πρώτα ότι ΟΕ = ΜΖ, Σχήμα 3.
Προφανώς ΟΕ = ΖΗ (1). Το τετράπλευρο ΜΚΣΗ είναι εγγράψιμο σε κύκλο (γιατί οι γωνίες του και είναι ορθές). Άρα, . Επομένως, ΜΖ=ΖΗ=ΟΕ από την σχέση (1).
Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα ΟΕΜ και ΟΔΚ είναι όμοια, άρα:
Το συμπέρασμά μας λοιπόν είναι ότι το σημείο Ν θα κινηθεί στο εσωτερικό του ευθ. τμήματος της ευθείας . Μπορούμε τώρα να προσδιορίσουμε το διάστημα που πρέπει να κινηθεί η κορυφή Σ πάνω στην ευθεία ΟΣ ώστε η κορυφή Ν να είναι στο εσωτερικό του και στο εσωτερικό της πλευρά ΣΤ. Για να το προσδιορίσουμε αυτό, Σχήμα 3, ας φέρουμε από το σημείο παράλληλη στην πλευρά ΟΓ που θα τμήσει την ΟΣ στο . Τότε η τετμημένη του θα είναι η τομή της παραλλήλου προς την ΜΓ, με εξίσωση , με την . Η εξίσωση αυτής της παραλλήλου που άγεται από το σημείο , έχει εξίσωση: . Μηδενίζοντας το θα πάρουμε:
Συμπέρασμα: αν υποθέσω το παραλληλόγραμμο ΟΣΤΓ έτσι ώστε , ΟΣ να είναι στον άξονα , η κορυφή Γ να έχει συντεταγμένες , το ύψος του να είναι η μονάδα του ορθοκανονικού συστήματος και , τότε αν η κορυφή Ν του εγγεγραμμένου τετραγώνου θα είναι στο εσωτερικό της πλευράς ΣΤ του παραλληλογράμμου. Επίσης, ένα ενδιαφέρον στοιχείο που προέκυψε από την ανάλυση είναι ότι o γεωμετρικός τόπος της κορυφής Ν είναι το τμήμα της ευθείας.
Εγγραφή ισοπλεύρου τριγώνου σε έλλειψη
Να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη.
Σχήμα 4
Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο A της έλλειψης (Σχ. 4). Περιστρέψτε την έλλειψη κατά (με το αντίστοιχο εργαλείο του συστήματος δυναμικής γεωμετρίας). Η εικόνα της μέσω της περιστροφής είναι η έλλειψη και τέμνει τη τουλάχιστον σε ένα σημείο B διαφορετικό του Α. Η αντίστροφη εικόνα του Β βρίσκεται πάνω στην έλλειψη και έτσι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Η ίδια διαδικασία κατασκευής μπορεί να επαναληφθεί σε κάθε κλειστή καμπύλη (Σχ. 4).
Πόσα είδη όμως κανονικών πολυγώνου μπορούν να εγγραφούν σε έλλειψη (δείτε Celca et alii3 και Λυγάτσικας4) με άνισους άξονες?
Μπορούμε εύκολα να κατασκευάσουμε και τετράγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη. Ξεκινήστε με τυχαίο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το οποίο έχει τις πλευρές του παράλληλες στους άξονες. Τότε, μπορείτε μεταβάλλοντας τις διαστάσεις του ορθογωνίου να βρείτε μια θέση έτσι ώστε το ορθογώνιο να είναι τετράγωνο. Τον ισχυρισμό σας αυτόν μπορείτε να τον δικαιολογήσετε χρησιμοποιώντας το θεώρημα της μέσης τιμής. Διαφορετικά, θα μπορούσατε να κατασκευάσουμε το τετράγωνο φέροντας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων της έλλειψης.
Θα δείξουμε τώρα ότι κανονικό n-γωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη με δεν υπάρχει. Ουσιαστικά πρόκειται για μια εφαρμογή του θεωρήματος του Bezout5.
Ας υποθέσουμε ότι μετά από μεταφορά και στροφή ο αλγεβρικός τύπος της έλλειψης είναι ή διαφορετικά αν με :
Έστω ότι υπάρχει κανονικό n-γωνο εγγεγραμμένο με και κορυφές , . Έστω η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου στο κανονικό n-γωνο. Οι κορυφές θα είναι λύσεις του συστήματος
Το σύστημα αυτό ανάγεται στη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
Στην εξίσωση το πρέπει να είναι διαφορετικό του μηδενός γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα είχαμε δύο το πολύ λύσεις για το οι οποίες θα έδιναν δύο το πολύ λύσεις για το , αδύνατο αφού . Άρα το κανονικό n-γωνο είναι εγγράψιμο και σε παραβολή. Αλλά, γνωρίζουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του κανονικού n-γώνου με την παραβολή μπορούν να έχουν το πολύ τέσσερα κοινά σημεία, δείτε Λυγάτσικας, σελ. 131 άσκηση 17. Και πάλι λοιπόν, οδηγούμαστε σε άτοπο. Άρα, τα κανονικά πολύγωνα τα εγγεγραμμένα σε κύκλο είναι μόνο το ισόπλευρο τρίγωνο και το τετράγωνο.
Matschke Benjamin, (2014): A Survey on the Square Peg Problem, Notices Of the AMS, vol. 61, no 4, pp. 346 – 352. ↩︎
Lemaire G., (1946): H Μεθοδική λύση του Γεωμετρικού Προβλήματος, Δεύτερη έκδοση, Βιβλ. Αθαν. Θ. Πούντζα. Μετάφραση από το METHODES DE RESOLUTION ET DE DISCUSSION DES PROBLEMES DE GEOMETRIE, VUIBERT PARIS, 1921 ↩︎
Λυγάτσικας Ζ., (2013): Κωνικές στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, Liberal Books, Αθήνα. Σελ. 218 πρόβλημα 243 . ↩︎
Το θεώρημα του ‘Etienne Bezout (1739-1783) είναι βασικό στην Aλγεβρική Γεωμετρία. Η Αλγεβρική Γεωμετρία, στη σημερινή της μορφή, είναι κλάδος της Άλγεβρας. Για να μελετήσει τομές καμπυλών και επιφανειών, χρησιμοποιεί πολύπλοκες τεχνικές που τις δανείζεται συχνά από άλλους μαθηματικούς τομείς, τη μοντέρνα θεωρία Αριθμών, τις Αναλυτικές Συναρτήσεις, την Αλγεβρική Τοπολογία. Για έναν αμύητο οι μαθηματικές αυτές συσκευές μπορεί να μοιάζουν πολύ μακριά από την καθαρή γεωμετρική διαίσθηση. Κορυφαίοι μαθηματικοί του κλάδου είναι ο Andre Weil και Alexander Grothendieck. To θεώρημα Bezout είναι κάτι σαν το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Λέει ότι: έστω p και q δύο πολυώνυμα βαθμού αντίστοιχα m και n, χωρίς κοινές συνιστώσες (αυτό σημαίνει αλγεβρικά ότι αν τα δυο πολυώνυμα p και q αναλυθούν σε γινόμενα πρώτων παραγόντων, δεν έχουν κοινούς παράγοντες), τότε το πλήθος των κοινών σημείων των αντιστοίχων καμπυλών και στο σύνολο των μιγαδικών, είναι ακριβώς mn.} Η διατύπωση ότι δύο κωνικές δεν μπορεί να έχουν παραπάνω από 4 κοινά σημεία οφείλεται στον Descartes. ↩︎
To 2023 παρουσιάστηκε μια απόδειξη του Fourier σχετικά με την αρρητότητα του υπερβατικού αριθμού e που δεν ήταν γνωστή η ύπαρξή της μέχρι τότε. Η πρώτη προσέγγιση από τον Fourier φαίνεται ότι έγινε στις 25 Δεκεμβρίου του 1795. Η απόδειξη βρέθηκε σε κάποιες σημειώσεις του Janot de Stainville1 μαθητή της ‘Ecole Polytechnique. Σύμφωνα με μια παράγραφο του κειμένου o Stainville αναφέρει ότι την απόδειξη αυτή του την έδωσε ο Louis Poinsot μαθητής τότε της ‘Ecole Polytechnique που παρακολούθησε τα μαθήματα του Fourier. Ο Fourier ήταν καθηγητής στη Σχολή από το 1809 έως το 1811.
Ο αριθμός του Euler, e, είναι ένας σημαντικός αριθμός στα μαθηματικά που εμφανίζεται σε πολλά περιβάλλοντα.
Για παράδειγμα, να δύο σημαντικές ιδιότητες του e. Πρώτον, η ακόλουθη απλή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, , με αρχική συνθήκη , εφαρμόζεται σε πολλές καταστάσεις από την αύξηση του πληθυσμού έως τη ραδιενεργή απόσβεση. Η μόνη μη τετριμμένη λύση αυτής της εξίσωσης (θα αγνοήσουμε την τετριμμένη λύση y = 0) είναι η εκθετική συνάρτηση .
Δεύτερον, το e εμπλέκεται στον τύπο του Euler, ο οποίος είναι το θεμέλιο της μιγαδικής ανάλυσης (η μελέτη των μιγαδικών αριθμών): .
Αν αντικαταστήσουμε την τιμή με το , παίρνουμε την ταυτότητα του Euler:
Αποδεικνύεται ότι το e είναι ένας άρρητος αριθμός και εδώ θα εξετάσουμε την έξυπνη απόδειξη του Fourier. Η απόδειξη του Stainville βασίζεται στο ανάπτυγμα μιας σειράς. Υπάρχει όμως μια διαφορετική απάντηση πιο διδακτική που βασίζεται στη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Θα λέγαμε κάτι αντίστοιχο με τον υπολογισμό του από τον Al-Kashi ή την μεθοδολογία της απόδειξης ύπαρξης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης από τον Picard2 .
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Stainville): Στο M\’elanges d’ analyse alg\’ebrique et de G\’eom\’etrie, ο Stainville χωρίζει την απόδειξη σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι αφιερωμένο στο να δείξει ότι χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του e:
Σημειώνει ότι ο αριθμός e είναι προφανώς μεγαλύτερος του 2 και στη συνέχεια φράσσεται προς τα πάνω από τα κλάσματα , ως εξής:
Πρόκειται για μια γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο και λόγο . Στο δεύτερο μέρος δίνει την απόδειξη, με απαγωγή σε άτοπο, της αρρητότητας του e. Αν , τότε:
Πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη με , έχουμε:
Συμβολίζω τους δύο ακεραίους
Έχουμε λοιπόν . Όπως και προηγουμένως η παραπάνω σειρά φράσσεται από:
Συμπεραίνει δε από το τελευταίο αποτέλεσμα, ότι δηλαδή το δεν είναι ακέραιος και επομένως η ισότητα εν είναι αληθής. ‘Άρα, η υπόθεση ότι το e είναι ρητός είναι λάθος.
Παρακάτω θα δούμε μια άλλη απόδειξη που δείχνει καθαρά το πως δουλεύει η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων. Όπως και ο Stainville, θα αποδείξουμε πρώτα απ’ όλα τη βασική ανίσωση:
Η ανισότητα συμβαίνει γιατί . Αυτό μπορεί να αποδειχθεί εύκολα αν θεωρήσετε συνάρτηση , για . Επειδή η είναι φθίνουσα. Άρα, και .
Αν υποθέσουμε τώρα ότι το e είναι ρητός έτσι ώστε και τότε:
Πολλαπλασιάζουμε την τελευταία ανίσωση με και έχουμε:
Ο αριθμός είναι ακέραιος, επειδή είναι άθροισμα ακεραίων λαμβάνοντας υπόψη τον oρισμό του και ότι κάθε παρονομαστής των επί μέρους κλασμάτων είναι παράγοντας του αριθμητή. Δηλαδή:
Επομένως: . Το οποίο είναι αδύνατο αφού δεν υπάρχει ακέραιος μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων. Επομένως, το e είναι άρρητος.
Μια απόδειξη του Univ. Paris-Saclay
H απόδειξη είχε δοθεί σε μάθημα στο Univ. Paris-Saclay το 2020.
Θεώρημα: Μελετώντας το ολοκλήρωμα , να αποδείξτε ότι το e είναι άρρητος αριθμός.
Απόδειξη: Στόχος είναι στην απόδειξη αυτή να εκφραστεί ο γενικός όρος σαν ένας γραμμικός συνδυασμός της μορφής .
